উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(1) ধরি, $z = x + iy$ ($x, y$ বাস্তব)। তাহলে $|z+1| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$ একটি বাস্তব সংখ্যা।

ডানপক্ষ: $z + 2(1+i) = (x+2) + i(y+2)$

সমীকরণের উভয়পক্ষ সমান হতে হলে কাল্পনিক অংশ শূন্য হবে: $y + 2 = 0$ বা, $y = -2$

আবার বাস্তব অংশ সমান: $\sqrt{(x+1)^2 + 4} = x + 2$ (যেখানে $x + 2 \geq 0$)

বর্গ করে, $(x+1)^2 + 4 = (x+2)^2$

বা, $x^2 + 2x + 5 = x^2 + 4x + 4$

বা, $2x = 1$ বা, $x = \frac{1}{2}$

যাচাই: $x + 2 = 2.5 > 0$ এবং $\sqrt{(1.5)^2 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ✓

উত্তর: $z = \frac{1}{2} - 2i$