উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $I = \int \frac{1+\cos x}{x+\sin x} dx$

   ধরি,
   $z = x + \sin x$
   $\therefore dz = (1 + \cos x) dx$

   সুতরাং,
   $I = \int \frac{dz}{z} = \ln|z| + C = \ln|x + \sin x| + C$
   যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

   উত্তর: $\ln|x + \sin x| + C$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই, $f(x) = \cos^{-1} x$।

   প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজ:
   $I = \int_{0}^{1} \frac{1+\{f(x)\}^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \int_{0}^{1} \frac{1+(\cos^{-1} x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$

   ধরি,
   $z = \cos^{-1} x$
   $\therefore dz = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = -dz$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, তখন $z = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$
   যখন $x = 1$, তখন $z = \cos^{-1}(1) = 0$

   সুতরাং,
   $I = \int_{\pi/2}^{0} (1+z^2) (-dz)$
   $= \int_{0}^{\pi/2} (1+z^2) dz$
   $= \left[ z + \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{\pi/2}$
   $= \left( \frac{\pi}{2} + \frac{(\pi/2)^3}{3} \right) - 0$
   $= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^3}{24}$

   উত্তর: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^3}{24}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী প্রদত্ত বক্ররেখা ও সরলরেখার সমীকরণ:
   পরাবৃত্ত: $y^2 = 4x$ ...(i)
   সরলরেখা: $y = x$ ...(ii)

   ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
   (ii) নং সমীকরণ হতে $y = x$ এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
   $x^2 = 4x$
   $\implies x^2 - 4x = 0$
   $\implies x(x - 4) = 0$
   $\therefore x = 0, 4$

   $x = 0$ হলে $y = 0$; অর্থাৎ মূলবিন্দু $O(0, 0)$
   $x = 4$ হলে $y = 4$; অর্থাৎ ছেদবিন্দু $A(4, 4)$

   প্রথম চতুর্ভাগে $x = 0$ থেকে $x = 4$ পর্যন্ত পরাবৃত্তটি $y = 2\sqrt{x}$ সরলরেখার উপরে অবস্থিত।

   অতএব, ছায়াঘেরা অঞ্চলের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{0}^{4} (y_{\text{curve}} - y_{\text{line}}) dx$
   $= \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) dx$
   $= \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
   $= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
   $= \left( \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4^2}{2} \right) - 0$
   $= \left( \frac{4}{3} \times 8 - \frac{16}{2} \right)$
   $= \frac{32}{3} - 8$
   $= \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$

   উত্তর: $\frac{8}{3}$ বর্গ একক।