উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমান বলদ্বয়ের প্রতিটির মান P।
   এখানে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, α = 60°
   লব্ধির মান, R = 12 N

   আমরা জানি,
   R = 2P cos(α/2)
   ⇒ 12 = 2P cos(60°/2)
   ⇒ 12 = 2P cos 30°
   ⇒ 12 = 2P × (√3/2)
   ⇒ 12 = √3 P
   ⇒ P = 12/√3 = 4√3 N

   অতএব, নির্ণেয় বলদ্বয়ের প্রতিটির মান 4√3 N।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C থেকে বিপরীত বাহুগুলির ওপর যথাক্রমে AD, BE, CF লম্ব টানা হয়েছে, যা O বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং O হলো লম্বকেন্দ্র।

   চিত্রানুযায়ী, P₁, P₂, P₃ বলত্রয় O বিন্দুতে যথাক্রমে OD, OE, OF বরাবর ক্রিয়াশীল।
   যেহেতু AD ⊥ BC, BE ⊥ CA এবং CF ⊥ AB, সেহেতু:
   • P₁ ও P₂ এর মধ্যবর্তী কোণ ∠DOE = 180° - ∠C
   • P₂ ও P₃ এর মধ্যবর্তী কোণ ∠EOF = 180° - ∠A
   • P₃ ও P₁ এর মধ্যবর্তী কোণ ∠FOD = 180° - ∠B

   যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় রয়েছে, তাই লামির উপপাদ্য অনুসারে:
   P₁ / sin(∠EOF) = P₂ / sin(∠FOD) = P₃ / sin(∠DOE)

   ⇒ P₁ / sin(180° - A) = P₂ / sin(180° - B) = P₃ / sin(180° - C)
   ⇒ P₁ / sin A = P₂ / sin B = P₃ / sin C

   আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
   a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (যেখানে a = BC, b = CA, c = AB)
   ⇒ sin A = BC / 2R, sin B = CA / 2R, sin C = AB / 2R

   সুতরাং,
   P₁ / (BC / 2R) = P₂ / (CA / 2R) = P₃ / (AB / 2R)
   ⇒ P₁ / BC = P₂ / CA = P₃ / AB

   অতএব, P₁ : P₂ : P₃ = BC : CA : AB (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   OX-কে আদি অক্ষ (x-অক্ষ) বিবেচনা করি।
   চিত্রানুযায়ী, তিনটি বল Q₁, Q₂, Q₃:
   • Q₁ বলটি OX এর সাথে 60° কোণে ক্রিয়াশীল।
   • Q₂ বলটি Q₁ এর সাথে 60° কোণে, অর্থাৎ OX এর সাথে (60° + 60°) = 120° কোণে ক্রিয়াশীল।
   • Q₃ বলটি Q₂ এর সাথে 120° কোণে, অর্থাৎ OX এর সাথে (120° + 120°) = 240° কোণে ক্রিয়াশীল।

   ধরি, লব্ধি R, যা OX এর সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।

   উপাংশে বিভক্ত করে পাই,
   OX বরাবর উপাংশসমূহের যোগফল:
   X = Q₁ cos 60° + Q₂ cos 120° + Q₃ cos 240°
   = Q₁ (1/2) + Q₂ (-1/2) + Q₃ (-1/2)
   = (1/2) (Q₁ - Q₂ - Q₃)

   OY বরাবর উপাংশসমূহের যোগফল:
   Y = Q₁ sin 60° + Q₂ sin 120° + Q₃ sin 240°
   = Q₁ (√3/2) + Q₂ (√3/2) + Q₃ (-√3/2)
   = (√3/2) (Q₁ + Q₂ - Q₃)

   অতএব, লব্ধির মান:
   R = √(X² + Y²)
   = √[ (1/4)(Q₁ - Q₂ - Q₃)² + (3/4)(Q₁ + Q₂ - Q₃)² ]

   এবং লব্ধির দিক:
   θ = tan⁻¹(Y / X) = tan⁻¹ [ √3 (Q₁ + Q₂ - Q₃) / (Q₁ - Q₂ - Q₃) ]
   (বিশেষ ক্ষেত্র: যদি Q₁ = Q₂ = Q₃ = Q হয়, তবে X = -Q/2, Y = √3Q/2; ফলে R = Q এবং θ = 180° - 60° = 120°)।