উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

M=[123450327];F(x)=x3−3x2+2x;N=[3x+2y+zx+2y+3z2x+y+4z] M=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 0 \ 3 & 2 & 7\end{array}\right] ; F(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x ; N=\left[\begin{array}{l}3 x+2 y+z \ x+2 y+3 z \ 2 x+y+4 z\end{array}\right] এবং P=[3−12] P=\left[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\right] .

  1. ক)

    [56x−3] \left[\begin{array}{cc}5 & 6 \ x & -3\end{array}\right] ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য না হলে x x এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    F(M)=I3 F(M)=I_{3} হলে M−1 M^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    নির্ণায়কের সাহায্যে N=PT N=P^{T} সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, A=[56x−3]A = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ x & -3 \end{bmatrix}।
    ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য না হলে (ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে), ∣A∣=0|A| = 0
    ⇒5(−3)−6(x)=0\Rightarrow 5(-3) - 6(x) = 0
    ⇒−15−6x=0\Rightarrow -15 - 6x = 0
    ⇒6x=−15\Rightarrow 6x = -15
    ⇒x=−156=−52\Rightarrow x = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}

    নির্ণেয় মান: x=−52x = -\frac{5}{2}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, F(x)=x3−3x2+2xF(x) = x^3 - 3x^2 + 2x
    অতএব, F(M)=M3−3M2+2MF(M) = M^3 - 3M^2 + 2M

    শর্তমতে, F(M)=I3F(M) = I_3
    বা, M3−3M2+2M=I3M^3 - 3M^2 + 2M = I_3

    উভয়পক্ষে M−1M^{-1} দ্বারা গুণ করে পাই,
    M−1(M3−3M2+2M)=M−1I3M^{-1}(M^3 - 3M^2 + 2M) = M^{-1} I_3
    বা, M2−3M+2I3=M−1M^2 - 3M + 2I_3 = M^{-1}
    বা, M−1=M2−3M+2I3M^{-1} = M^2 - 3M + 2I_3

    এখন,
    M=[123450327]M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \end{bmatrix}

    M2=M×M=[123450327][123450327]M^2 = M \times M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \end{bmatrix}
    =[1+8+92+10+63+0+214+20+08+25+012+0+03+8+216+10+149+0+49]=[181824243312323058]= \begin{bmatrix} 1+8+9 & 2+10+6 & 3+0+21 \\ 4+20+0 & 8+25+0 & 12+0+0 \\ 3+8+21 & 6+10+14 & 9+0+49 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 18 & 24 \\ 24 & 33 & 12 \\ 32 & 30 & 58 \end{bmatrix}

    3M=3[123450327]=[369121509621]3M = 3 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 0 \\ 9 & 6 & 21 \end{bmatrix}

    2I3=2[100010001]=[200020002]2I_3 = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

    অতএব,
    M−1=[181824243312323058]−[369121509621]+[200020002]M^{-1} = \begin{bmatrix} 18 & 18 & 24 \\ 24 & 33 & 12 \\ 32 & 30 & 58 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 0 \\ 9 & 6 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}
    =[18−3+218−6+024−9+024−12+033−15+212−0+032−9+030−6+058−21+2]= \begin{bmatrix} 18-3+2 & 18-6+0 & 24-9+0 \\ 24-12+0 & 33-15+2 & 12-0+0 \\ 32-9+0 & 30-6+0 & 58-21+2 \end{bmatrix}
    =[171215122012232439]= \begin{bmatrix} 17 & 12 & 15 \\ 12 & 20 & 12 \\ 23 & 24 & 39 \end{bmatrix}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P=[3−12]P = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}
    ∴PT=[3−12]\therefore P^T = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}

    শর্তমতে, N=PTN = P^T
    ⇒[3x+2y+zx+2y+3z2x+y+4z]=[3−12]\Rightarrow \begin{bmatrix} 3x + 2y + z \\ x + 2y + 3z \\ 2x + y + 4z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}

    ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে সমীকরণ জোট:
    3x+2y+z=33x + 2y + z = 3
    x+2y+3z=−1x + 2y + 3z = -1
    2x+y+4z=22x + y + 4z = 2

    ক্র্যামারের নিয়মে,
    D=∣321123214∣D = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}
    =3(8−3)−2(4−6)+1(1−4)= 3(8 - 3) - 2(4 - 6) + 1(1 - 4)
    =3(5)−2(−2)+1(−3)= 3(5) - 2(-2) + 1(-3)
    =15+4−3=16≠0= 15 + 4 - 3 = 16 \neq 0

    Dx=∣321−123214∣D_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}
    =3(8−3)−2(−4−6)+1(−1−4)= 3(8 - 3) - 2(-4 - 6) + 1(-1 - 4)
    =3(5)−2(−10)+1(−5)= 3(5) - 2(-10) + 1(-5)
    =15+20−5=30= 15 + 20 - 5 = 30

    Dy=∣3311−13224∣D_y = \begin{vmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix}
    =3(−4−6)−3(4−6)+1(2−(−2))= 3(-4 - 6) - 3(4 - 6) + 1(2 - (-2))
    =3(−10)−3(−2)+1(4)= 3(-10) - 3(-2) + 1(4)
    =−30+6+4=−20= -30 + 6 + 4 = -20

    Dz=∣32312−1212∣D_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}
    =3(4−(−1))−2(2−(−2))+3(1−4)= 3(4 - (-1)) - 2(2 - (-2)) + 3(1 - 4)
    =3(5)−2(4)+3(−3)= 3(5) - 2(4) + 3(-3)
    =15−8−9=−2= 15 - 8 - 9 = -2

    অতএব,
    x=DxD=3016=158x = \frac{D_x}{D} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}
    y=DyD=−2016=−54y = \frac{D_y}{D} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}
    z=DzD=−216=−18z = \frac{D_z}{D} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(158,−54,−18)(x, y, z) = \left(\frac{15}{8}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{8}\right)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন