∫π2π(1+sin⁡2θ)dθ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (1 + \sin 2 heta) d heta এর মান কত?

Question

∫π2π(1+sin⁡2θ)dθ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (1 + \sin 2	heta) d	heta এর মান কত?

Accepted Answer

ক. π2−1 \frac{\pi}{2} - 1

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজটি হলো:
$$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (1 + \sin 2	heta) d	heta$$

আমরা জানি, 
$$\int 1 \, d	heta = 	heta \quad 	ext{এবং} \quad \int \sin 2	heta \, d	heta = -\frac{\cos 2	heta}{2}$$

অতএব,
$$I = \left[ 	heta - \frac{\cos 2	heta}{2} ight]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$$

উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা বসিয়ে পাই:
$$I = \left( \pi - \frac{\cos(2\pi)}{2} ight) - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\cos(\pi)}{2} ight)$$

যেহেতু $\cos(2\pi) = 1$ এবং $\cos(\pi) = -1$:
$$I = \left( \pi - \frac{1}{2} ight) - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{-1}{2} ight)$$
$$I = \pi - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$$
$$I = \frac{\pi}{2} - 1$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো বিকল্প ১।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন