উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[12101−13−11],Δ=[x−1231x−1132x−1] A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 3 & -1 & 1\end{array}\right], \Delta=\left[\begin{array}{ccc}x-1 & 2 & 3 \ 1 & x-1 & 1 \ 3 & 2 & x-1\end{array}\right]

  1. ক)

    k k এর কোন মানের জন্য [k+3−1kk+2] \left[\begin{array}{cc}k+3 & -1 \ k & k+2\end{array}\right] ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে?

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক হতে A3−3A2−A+9I=0 A^{3}-3 A^{2}-A+9 I=0 এর সাহায্যে A−1 A^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের সাহয্যে ∣Δ+I∣=0 |\Delta+I|=0 সমীকরণের সমাধান কর। যেখানে, I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, M=[k+3−1kk+2]M = \begin{bmatrix} k+3 & -1 \\ k & k+2 \end{bmatrix}
    MM ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্স হবে যদি ∣M∣=0|M| = 0 হয়।
    অতএব,
    ∣M∣=(k+3)(k+2)−(−1)(k)=0|M| = (k+3)(k+2) - (-1)(k) = 0
      ⟹  k2+5k+6+k=0\implies k^2 + 5k + 6 + k = 0
      ⟹  k2+6k+6=0\implies k^2 + 6k + 6 = 0
    দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে,
    k=−6±62−4⋅1⋅62⋅1=−6±36−242=−6±122=−6±232=−3±3k = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}

    অতএব, k=−3±3k = -3 \pm \sqrt{3} হলে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    A3−3A2−A+9I=0A^3 - 3A^2 - A + 9I = 0
      ⟹  9I=−A3+3A2+A\implies 9I = -A^3 + 3A^2 + A
    উভয়পক্ষকে A−1A^{-1} দ্বারা গুণ করে পাই,
    9I⋅A−1=(−A3+3A2+A)A−19I \cdot A^{-1} = (-A^3 + 3A^2 + A)A^{-1}
      ⟹  9A−1=−A2+3A+I\implies 9A^{-1} = -A^2 + 3A + I
      ⟹  A−1=−19(A2−3A−I)\implies A^{-1} = -\frac{1}{9}(A^2 - 3A - I)

    এখন,
    A2=A⋅A=[12101−13−11][12101−13−11]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}
    =[1(1)+2(0)+1(3)1(2)+2(1)+1(−1)1(1)+2(−1)+1(1)0(1)+1(0)−1(3)0(2)+1(1)−1(−1)0(1)+1(−1)−1(1)3(1)−1(0)+1(3)3(2)−1(1)+1(−1)3(1)−1(−1)+1(1)]= \begin{bmatrix} 1(1)+2(0)+1(3) & 1(2)+2(1)+1(-1) & 1(1)+2(-1)+1(1) \\ 0(1)+1(0)-1(3) & 0(2)+1(1)-1(-1) & 0(1)+1(-1)-1(1) \\ 3(1)-1(0)+1(3) & 3(2)-1(1)+1(-1) & 3(1)-1(-1)+1(1) \end{bmatrix}
    =[430−32−2645]= \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A2−3A−I=[430−32−2645]−3[12101−13−11]−[100010001]A^2 - 3A - I = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    =[4−3−13−6−00−3−0−3−0−02−3−1−2+3−06−9−04+3−05−3−1]=[0−3−3−3−21−371]= \begin{bmatrix} 4-3-1 & 3-6-0 & 0-3-0 \\ -3-0-0 & 2-3-1 & -2+3-0 \\ 6-9-0 & 4+3-0 & 5-3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    A−1=−19[0−3−3−3−21−371]=19[03332−13−7−1]A^{-1} = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -7 & -1 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত,
    Δ=[x−1231x−1132x−1]\Delta = \begin{bmatrix} x-1 & 2 & 3 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 3 & 2 & x-1 \end{bmatrix}
    এবং I=[100010001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    অতএব,
    Δ+I=[x−1+12+03+01+0x−1+11+03+02+0x−1+1]=[x231x132x]\Delta + I = \begin{bmatrix} x-1+1 & 2+0 & 3+0 \\ 1+0 & x-1+1 & 1+0 \\ 3+0 & 2+0 & x-1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 1 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix}

    শর্তানুসারে,
    ∣Δ+I∣=0|\Delta + I| = 0
      ⟹  ∣x231x132x∣=0\implies \begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 1 \\ 3 & 2 & x \end{vmatrix} = 0

    প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,
    x(x2−2)−2(x−3)+3(2−3x)=0x(x^2 - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0
      ⟹  x3−2x−2x+6+6−9x=0\implies x^3 - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0
      ⟹  x3−13x+12=0\implies x^3 - 13x + 12 = 0

    উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য x=1x = 1 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয় (1−13+12=01 - 13 + 12 = 0)।
    অতএব, (x−1)(x - 1) একটি উৎপাদক।
    x3−x2+x2−x−12x+12=0x^3 - x^2 + x^2 - x - 12x + 12 = 0
      ⟹  x2(x−1)+x(x−1)−12(x−1)=0\implies x^2(x - 1) + x(x - 1) - 12(x - 1) = 0
      ⟹  (x−1)(x2+x−12)=0\implies (x - 1)(x^2 + x - 12) = 0
      ⟹  (x−1)(x+4)(x−3)=0\implies (x - 1)(x + 4)(x - 3) = 0

    হয় x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1
    অথবা x+4=0  ⟹  x=−4x + 4 = 0 \implies x = -4
    অথবা x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x=−4,1,3x = -4, 1, 3।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন