পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

(1) দেওয়া আছে $\vec{a} = \alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \beta\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$, $\vec{c} = \hat{j} + \hat{k}$।

ধাপ ১: সমতলীয় শর্ত। $\vec{a}$, $\vec{b}$ ও $\vec{c}$ একই সমতলে থাকলে $\vec{a} = \lambda\vec{b} + \mu\vec{c} = \lambda\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \mu\hat{k}$। উভয় পাশের উপাংশ মিলিয়ে পাই: $\alpha = \lambda$, $\lambda + \mu = 2$, $\beta = \mu$। অর্থাৎ $\alpha + \beta = 2$ ... (i)।

ধাপ ২: সমান কোণের শর্ত। $\vec{a}$, $\vec{b}$ ও $\vec{c}$ উভয়ের সাথে একই কোণ $\theta$ তৈরি করে, তাই
$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}$
যেহেতু $|\vec{b}| = |\vec{c}| = \sqrt{2}$, তাই $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c}$।
$\vec{a}\cdot\vec{b} = \alpha + 2$ এবং $\vec{a}\cdot\vec{c} = 2 + \beta$।
সুতরাং $\alpha + 2 = 2 + \beta$, অর্থাৎ $\alpha = \beta$ ... (ii)।

ধাপ ৩: (i) ও (ii) থেকে $2\alpha = 2$, অতএব $\alpha = 1$ এবং $\beta = 1$।

উত্তর: $\alpha = 1$, $\beta = 1$।

(যাচাই: $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} = \vec{b} + \vec{c}$, যা $\vec{b}$ ও $\vec{c}$ এর সমতলে আছে এবং কোণ-সমদ্বিখণ্ডক বরাবর।)