পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটরের (ডেল অপারেটর, $\vec{\nabla}$) সাথে একটি ব্যবকলনযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণনকে উক্ত ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেসব ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে নির্ধারিত থাকে, তাদের সীমাবদ্ধ ভেক্টর (Localized Vector) বলা হয়। প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। যেহেতু অবস্থান ভেক্টরের পাদবিন্দু সর্বদা প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুতেই নির্দিষ্ট বা সীমাবদ্ধ থাকে, ইচ্ছেমতো পরিবর্তন করা যায় না, তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী,
   প্রথম বল, $F_1 = 12\text{ N}$ যা Y-অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল। সুতরাং, X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এর উৎপন্ন কোণ, $\theta_1 = 90^\circ$।
   দ্বিতীয় বল, $F_2 = 8\text{ N}$ যা Y-অক্ষের সাথে $60^\circ$ কোণে ক্রিয়াশীল।
   সুতরাং, X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $F_2$-এর উৎপন্ন কোণ, $\theta_2 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$।

   বলদ্বয়ের লব্ধির অনুভূমিক উপাংশ (X-অক্ষ বরাবর):
   $R_x = F_1\cos\theta_1 + F_2\cos\theta_2$
   $\Rightarrow R_x = 12\cos 90^\circ + 8\cos 30^\circ$
   $\Rightarrow R_x = 0 + 8\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\approx 6.928\text{ N}$

   বলদ্বয়ের লব্ধির উলম্ব উপাংশ (Y-অক্ষ বরাবর):
   $R_y = F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2$
   $\Rightarrow R_y = 12\sin 90^\circ + 8\sin 30^\circ$
   $\Rightarrow R_y = 12(1) + 8\left(\frac{1}{2}\right) = 12 + 4 = 16\text{ N}$

   ধরি, লব্ধি বল X-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল।
   অতএব,
   $\tan\theta = \frac{R_y}{R_x}$
   $\Rightarrow \tan\theta = \frac{16}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.3094$
   $\Rightarrow \theta = \tan^{-1}(2.3094) \approx 66.59^\circ$

   উত্তর: বল দুটির লব্ধি X-অক্ষের সাথে প্রায় $66.59^\circ$ কোণে ক্রিয়াশীল।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত বলদ্বয় হলো $F_1 = 12\text{ N}$ এবং $F_2 = 8\text{ N}$।
   চিত্রানুযায়ী, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^\circ$।

   $F_1$ বলটি সরাসরি Y-অক্ষ বরাবর এবং $F_2$ বলটি X-অক্ষের সাথে $(90^\circ - 60^\circ) = 30^\circ$ কোণে অবস্থিত।

   বল দুটির লব্ধির অনুভূমিক উপাংশ ($R_x$):
   $R_x = F_1\cos 90^\circ + F_2\cos 30^\circ$
   $\Rightarrow R_x = 12\times 0 + 8\times\cos 30^\circ$
   $\Rightarrow R_x = 8\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\approx 6.928\text{ N}$

   বল দুটির লব্ধির উলম্ব উপাংশ ($R_y$):
   $R_y = F_1\sin 90^\circ + F_2\sin 30^\circ$
   $\Rightarrow R_y = 12\times 1 + 8\times\sin 30^\circ$
   $\Rightarrow R_y = 12 + 8\times\frac{1}{2} = 12 + 4 = 16\text{ N}$

   গাণিতিক তুলনা থেকে দেখা যায়,
   $R_y = 16\text{ N}$ এবং $R_x \approx 6.928\text{ N}$
   যেহেতু $R_y > R_x$, অর্থাৎ উলম্ব উপাংশের মান অনুভূমিক উপাংশের মানের চেয়ে বেশি।

   অতএব, বল দুটির লব্ধির অনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মধ্যে উলম্ব উপাংশের মান বেশি।