পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

A⃗=2i^−3j˙+k^,B⃗=3i^−j^+5k^এবং4C⃗=3i˙+2j^−4k^ \vec{A}=2 \hat{i}-3 \dot{j}+\hat{k}, \quad \vec{B}=3 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k} এবং 4 \vec{C}=3 \dot{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} ভেক্টর তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে।

  1. ক)

    পরম আর্দ্রতা কী?

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে,(i^×j^=k^) (\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k})

    (2)
  3. গ)

    A⃗ এবং B⃗ \vec{A} ~এবং ~\vec{B} কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে কি-না-গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ুতে উপস্থিত জলীয় বাষ্পের ভরকে ঐ বায়ুর পরম আর্দ্রতা বলে। সাধারণত একে g/m3\text{g/m}^3 বা kg/m3\text{kg/m}^3 এককে প্রকাশ করা হয়।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক x ও y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে i^\hat{i} এবং j^\hat{j}। এদের মধ্যবর্তী কোণ θ=90∘\theta = 90^\circ।

    ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞানুসারে,
    i^×j^=(∣i^∣∣j^∣sin⁡90∘)η^\hat{i} \times \hat{j} = (|\hat{i}| |\hat{j}| \sin 90^\circ) \hat{\eta}
    যেখানে η^\hat{\eta} হলো i^\hat{i} ও j^\hat{j} উভয়ের ওপর লম্ব একক ভেক্টর।

    যেহেতু ∣i^∣=1|\hat{i}| = 1, ∣j^∣=1|\hat{j}| = 1 এবং sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, তাই:
    i^×j^=(1⋅1⋅1)η^=η^\hat{i} \times \hat{j} = (1 \cdot 1 \cdot 1) \hat{\eta} = \hat{\eta}

    ডানহাদী কর্ক-স্ক্রু নিয়ম অনুসারে, ধনাত্মক x-অক্ষ (i^\hat{i}) থেকে ধনাত্মক y-অক্ষ (j^\hat{j}) এর দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে স্ক্রু ঘোরালে তা ধনাত্মক z-অক্ষের দিকে অগ্রসর হয়। ধনাত্মক z-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর হলো k^\hat{k}।

    অতএব, η^=k^\hat{\eta} = \hat{k}
    সুতরাং, i^×j^=k^\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A⃗=2i^−3j^+k^\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}
    B⃗=3i^−j^+5k^\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}

    A⃗\vec{A} এবং B⃗\vec{B} কে সন্নিহিত বাহু ধরে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ∣A⃗×B⃗∣|\vec{A} \times \vec{B}|

    এখন,
    A⃗×B⃗=∣i^j^k^2−313−15∣\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix}
    =i^[(−3)(5)−(1)(−1)]−j^[(2)(5)−(1)(3)]+k^[(2)(−1)−(−3)(3)]= \hat{i}[(-3)(5) - (1)(-1)] - \hat{j}[(2)(5) - (1)(3)] + \hat{k}[(2)(-1) - (-3)(3)]
    =i^[−15+1]−j^[10−3]+k^[−2+9]= \hat{i}[-15 + 1] - \hat{j}[10 - 3] + \hat{k}[-2 + 9]
    =−14i^−7j^+7k^= -14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}

    অতএব, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল,
    ∣A⃗×B⃗∣=(−14)2+(−7)2+72|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + 7^2}
    =196+49+49= \sqrt{196 + 49 + 49}
    =294≈17.15 বর্গ একক= \sqrt{294} \approx 17.15 \text{ বর্গ একক}

    সুতরাং, নির্ণেয় সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 17.1517.15 বর্গ একক (বা 294\sqrt{294} বর্গ একক)।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A⃗=2i^−3j^+k^\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}
    B⃗=3i^−j^+5k^\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}
    উদ্দীপকে তৃতীয় ভেক্টরটি C⃗=i^+2j^−4k^\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} (মুদ্রণজনিত '4' বাদ দিয়ে) হিসেবে বিবেচনা করলে ত্রিভুজটি A⃗+C⃗=B⃗\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} শর্ত পূরণ করে।

    বাহুগুলোর মান:
    ∣A⃗∣2=22+(−3)2+12=4+9+1=14|\vec{A}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 = 14
    ∣B⃗∣2=32+(−1)2+52=9+1+25=35|\vec{B}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + 5^2 = 9 + 1 + 25 = 35
    ∣C⃗∣2=12+22+(−4)2=1+4+16=21|\vec{C}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-4)^2 = 1 + 4 + 16 = 21

    এখানে দেখা যাচ্ছে,
    ∣A⃗∣2+∣C⃗∣2=14+21=35=∣B⃗∣2|\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 = 14 + 21 = 35 = |\vec{B}|^2

    যেহেতু বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য (a2+c2=b2a^2 + c^2 = b^2) মেনে চলে এবং A⃗⋅C⃗=(2)(1)+(−3)(2)+(1)(−4)=2−6−4=−8≠0\vec{A} \cdot \vec{C} = (2)(1) + (-3)(2) + (1)(-4) = 2 - 6 - 4 = -8 \neq 0, তবে সমকোণ তৈরি হতে হলে ডট গুণ শূন্য হতে হয়।
    বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী স্কেলার গুণন পরীক্ষা করি:
    A⃗⋅B⃗=(2)(3)+(−3)(−1)+(1)(5)=6+3+5=14≠0\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(3) + (-3)(-1) + (1)(5) = 6 + 3 + 5 = 14 \neq 0
    B⃗⋅C⃗=(3)(1)+(−1)(2)+(5)(−4)=3−2−20=−19≠0\vec{B} \cdot \vec{C} = (3)(1) + (-1)(2) + (5)(-4) = 3 - 2 - 20 = -19 \neq 0
    A⃗⋅C⃗=−8≠0\vec{A} \cdot \vec{C} = -8 \neq 0

    কোনো দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ 90∘90^\circ নয় এবং এদের মান কোনো সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাস শর্ত সিদ্ধ করলেও ভেক্টর ডট গুণ শূন্য হয় না। তাই ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন