উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $4x^2 - 9y^2 - 1 = 0$
   $\implies 4x^2 - 9y^2 = 1$
   $\implies \frac{x^2}{\frac{1}{4}} - \frac{y^2}{\frac{1}{9}} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - \frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = 1$

   এটি $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি সমীকরণ।
   অতএব, কনিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \frac{\sqrt{13}}{3}$।
   যেহেতু $e > 1$, তাই কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

   কণিকের অক্ষদ্বয়কে $x$-অক্ষ ও $y$-অক্ষ ধরে এর সমীকরণ ধরি:
   $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ...(i)

   আমরা জানি, অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে:
   $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$
   $\implies \left(\frac{\sqrt{13}}{3}\right)^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$
   $\implies \frac{13}{9} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$
   $\implies \frac{b^2}{a^2} = \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9}$
   $\implies b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ...(ii)

   অধিবৃত্তটি $\left(4, \frac{\sqrt{28}}{3}\right)$ বিন্দুগামী। সুতরাং,
   $\frac{4^2}{a^2} - \frac{\left(\frac{\sqrt{28}}{3}\right)^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{16}{a^2} - \frac{\frac{28}{9}}{b^2} = 1$

   (ii) নং হতে $b^2$-এর মান বসিয়ে পাই:
   $\frac{16}{a^2} - \frac{\frac{28}{9}}{\frac{4}{9}a^2} = 1$
   $\implies \frac{16}{a^2} - \frac{28}{4a^2} = 1$
   $\implies \frac{16}{a^2} - \frac{7}{a^2} = 1$
   $\implies \frac{9}{a^2} = 1$
   $\implies a^2 = 9$
   $\implies a = 3$ ($a > 0$)

   এখন, $b^2 = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \implies b = 2$ ($b > 0$)

   সুতরাং,
   আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2a = 2 \times 3 = 6$ একক
   অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য $= 2b = 2 \times 2 = 4$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ:
   $x^2 + 2y^2 - 12x + 28 = 0$
   $\implies (x^2 - 12x + 36) + 2y^2 + 28 - 36 = 0$
   $\implies (x - 6)^2 + 2y^2 = 8$
   $\implies \frac{(x - 6)^2}{8} + \frac{2y^2}{8} = 1$
   $\implies \frac{(x - 6)^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$
   $\implies \frac{(x - 6)^2}{(2\sqrt{2})^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$

   ধরি, $X = x - 6$ এবং $Y = y$
   তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$, যেখানে $a^2 = 8, b^2 = 4$ অর্থাৎ $a = 2\sqrt{2}, b = 2$ এবং $a > b$। এটি একটি উপবৃত্ত।

   উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   (i) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
   উপকেন্দ্র: $(X, Y) = (\pm ae, 0)$
   এখানে, $ae = 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2$
   সুতরাং, $X = \pm 2$ এবং $Y = 0$
   $\implies x - 6 = \pm 2$ এবং $y = 0$
   $\implies x = 6 \pm 2$
   অতএব, $x = 8$ অথবা $x = 4$
   সুতরাং, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(8, 0)$ এবং $(4, 0)$।

   (ii) নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   নিয়ামক রেখা: $X = \pm \frac{a}{e}$
   $\implies x - 6 = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
   $\implies x - 6 = \pm (2\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
   $\implies x - 6 = \pm 4$
   $\implies x - 6 \pm 4 = 0$
   অতএব, নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $x - 2 = 0$ এবং $x - 10 = 0$।