উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব L বিন্দু হতে নির্ণেয় ধরা হয়েছে। | গ অংশে দৃশ্যকল্পের অসদৃশ শব্দের স্থলে সদৃশ সমান্তরাল বল বিবেচনা করা হয়েছে যাতে প্রশ্নে উল্লেখিত Pd/(P+Q) প্রমাণটি সংগতিপূর্ণ হয়।

   মনে করি, $L$ ও $M$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ মানের দুটি অসদৃশ ও অসমান সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল, যেখানে $P > Q$।

   যেহেতু বলদ্বয় অসদৃশ এবং $P > Q$, সেহেতু এদের লব্ধি $R = P - Q$ বৃহত্তর বল $P$-এর ক্রিয়ারেখার দিকে এবং $LM$ রেখাংশের বর্ধিতাংশের উপর $L$-এর পাশে ক্রিয়া করবে।

   ধরি, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $C$ (যেখানে $C$ বিন্দুটি $ML$-এর বর্ধিতাংশে অবস্থিত, অর্থাৎ ক্রমটি $C - L - M$)।

   সমান্তরাল বলের সূত্র বা $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলদ্বয়ের মোমেন্ট নিয়ে পাই:
   $P \cdot CL = Q \cdot CM$
   বা, $P \cdot CL = Q \cdot (CL + LM)$
   বা, $P \cdot CL - Q \cdot CL = Q \cdot LM$
   বা, $(P - Q) \cdot CL = Q \cdot LM$
   $\therefore CL = \frac{Q}{P - Q} \cdot LM$

   অতএব, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বৃহত্তর বলের ক্রিয়াবিন্দু $L$ হতে $\frac{Q}{P - Q}LM$ দূরত্বে কার্যরত। (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব L বিন্দু হতে নির্ণেয় ধরা হয়েছে। | গ অংশে দৃশ্যকল্পের অসদৃশ শব্দের স্থলে সদৃশ সমান্তরাল বল বিবেচনা করা হয়েছে যাতে প্রশ্নে উল্লেখিত Pd/(P+Q) প্রমাণটি সংগতিপূর্ণ হয়।

   দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু $A, B, C$-তে যথাক্রমে তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল $X, Y, Z$ ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি ত্রিভুজটির লম্ববিন্দু (Orthocenter) $O$-তে ক্রিয়া করে।

   ধরি, $A, B, C$ থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে $AD, BE, CF$, যা লম্ববিন্দু $O$-তে মিলিত হয়।
   $O$ বিন্দু থেকে $BC, CA, AB$ বাহুর লম্বদূরত্ব যথাক্রমে $OD, OE, OF$।

   সমকোণী $\triangle OBD$ হতে,
   $\angle BOD = 90^\circ - \angle OBD = 90^\circ - (90^\circ - C) = C$
   $\therefore OD = BD \cot C = (c \cos B) \frac{\cos C}{\sin C} = (2R \sin C \cos B) \frac{\cos C}{\sin C} = 2R \cos B \cos C$

   অনুরূপভাবে,
   $OE = 2R \cos C \cos A$
   $OF = 2R \cos A \cos B$

   ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে ক্রিয়ারত সমান্তরাল বলের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর ধর্ম (Barycentric coordinates) অনুসারে:
   $X : Y : Z = \triangle OBC : \triangle OCA : \triangle OAB$

   এখন,
   $\triangle OBC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2R \cos B \cos C) = \frac{1}{2} (2R \sin A)(2R \cos B \cos C) = 2R^2 \sin A \cos B \cos C$
   অনুরূপভাবে,
   $\triangle OCA = 2R^2 \cos A \sin B \cos C$
   $\triangle OAB = 2R^2 \cos A \cos B \sin C$

   সুতরাং,
   $X : Y : Z = \sin A \cos B \cos C : \cos A \sin B \cos C : \cos A \cos B \sin C$

   প্রতিটি অনুপাতকে $\cos A \cos B \cos C$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $X : Y : Z = \frac{\sin A}{\cos A} : \frac{\sin B}{\cos B} : \frac{\sin C}{\cos C} = \tan A : \tan B : \tan C$

   $\therefore X : Y : Z = \tan A : \tan B : \tan C$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব L বিন্দু হতে নির্ণেয় ধরা হয়েছে। | গ অংশে দৃশ্যকল্পের অসদৃশ শব্দের স্থলে সদৃশ সমান্তরাল বল বিবেচনা করা হয়েছে যাতে প্রশ্নে উল্লেখিত Pd/(P+Q) প্রমাণটি সংগতিপূর্ণ হয়।

   দৃশ্যকল্প-২ এ বলদ্বয় অসদৃশ বলা হলেও প্রশ্নে লব্ধির সরণ $\frac{Pd}{P+Q}$ চাওয়া হয়েছে, যা সদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য (অসদৃশ হলে সরণ হয় $\frac{Pd}{P-Q}$)।

   সদৃশ সমান্তরাল বল বিবেচনায় প্রমাণ:
   ধরি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ মানের দুটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি $P+Q$ রেখাংশ $AB$-এর উপরিস্থ $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

   সমান্তরাল বলের নীতি অনুসারে:
   $P \cdot AC = Q \cdot BC = Q(AB - AC)$
   $P \cdot AC + Q \cdot AC = Q \cdot AB$
   $\therefore AC = \frac{Q}{P+Q} \cdot AB \quad \text{--- (i)}$

   এখন, $P$ বলটিকে সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়ারেখা $d$ দূরত্বে $A'$ বিন্দুতে সরানো হলো (অর্থাৎ $AA' = d$)। ধরি, নতুন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $C'$।
   নতুন অবস্থান অনুযায়ী:
   $P \cdot A'C' = Q \cdot BC' = Q(A'B - A'C')$
   $\therefore A'C' = \frac{Q}{P+Q} \cdot A'B = \frac{Q}{P+Q} (AB - d) \quad \text{--- (ii)}$

   অতএব, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ $CC'$ হলে:
   $CC' = AC' - AC = (AA' + A'C') - AC$
   $CC' = d + \frac{Q}{P+Q}(AB - d) - \frac{Q}{P+Q} AB$
   $CC' = d - \frac{Qd}{P+Q} = \frac{(P+Q)d - Qd}{P+Q} = \frac{Pd}{P+Q}$

   অতএব, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু $\frac{Pd}{P+Q}$ দূরত্বে সরে যাবে। (দেখানো হলো)

   (উল্লেখ্য: দৃশ্যকল্প-২ এর 'অসদৃশ' বিবেচনা করলে সরণ হবে $\frac{Pd}{P-Q}$)