উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[2−1131−452−3],B=[p2qr2pq2rp2qr2pq2r]A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \ 3 & 1 & -4 \ 5 & 2 & -3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}p^{2} & q r & 2 p \ q^{2} & r p & 2 q \ r^{2} & p q & 2 r\end{array}\right].

  1. ক)

    [x−58−1y+3]=[y−18−17]\left[\begin{array}{cc}x-5 & 8 \ -1 & y+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}y-1 & 8 \ -1 & 7\end{array}\right] হল (x,y)(x, y) এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, ∣B∣=−2(p−q)(q−r)(p−r)(pq+qr+rp).|B|=-2(p-q)(q-r)(p-r)(p q+q r+r p) .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    [x−58−1y+3]=[y−18−17]\begin{bmatrix} x-5 & 8 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y-1 & 8 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}

    ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে অনুরূপ উপাদানগুলো সমান হবে:
    x−5=y−1x - 5 = y - 1 ...... (i)
    y+3=7y + 3 = 7 ...... (ii)

    সমীকরণ (ii) হতে পাই,
    y=7−3=4y = 7 - 3 = 4

    yy-এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
    x−5=4−1x - 5 = 4 - 1
    ⇒x−5=3\Rightarrow x - 5 = 3
    ⇒x=8\Rightarrow x = 8

    অতএব, (x,y)=(8,4)(x, y) = (8, 4)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[2−1131−452−3]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -4 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}

    প্রথমে নির্ণায়ক ∣A∣|A| এর মান:
    ∣A∣=2(−3+8)−(−1)(−9+20)+1(6−5)|A| = 2(-3 + 8) - (-1)(-9 + 20) + 1(6 - 5)
    =2(5)+1(11)+1(1)= 2(5) + 1(11) + 1(1)
    =10+11+1=22≠0= 10 + 11 + 1 = 22 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA-এর সহগুণকসমূহ (Cofactors):
    A11=+(−3−(−8))=5A_{11} = + ( -3 - (-8) ) = 5
    A12=−(−9−(−20))=−11A_{12} = - ( -9 - (-20) ) = -11
    A13=+(6−5)=1A_{13} = + ( 6 - 5 ) = 1
    A21=−(3−2)=−1A_{21} = - ( 3 - 2 ) = -1
    A22=+(−6−5)=−11A_{22} = + ( -6 - 5 ) = -11
    A23=−(4−(−5))=−9A_{23} = - ( 4 - (-5) ) = -9
    A31=+(4−1)=3A_{31} = + ( 4 - 1 ) = 3
    A32=−(−8−3)=11A_{32} = - ( -8 - 3 ) = 11
    A33=+(2−(−3))=5A_{33} = + ( 2 - (-3) ) = 5

    সহগুণক ম্যাট্রিক্স:
    C=[5−111−1−11−93115]C = \begin{bmatrix} 5 & -11 & 1 \\ -1 & -11 & -9 \\ 3 & 11 & 5 \end{bmatrix}

    অনুবন্ধী (Adjoint) ম্যাট্রিক্স:
    adj⁡(A)=CT=[5−13−11−11111−95]\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj⁡(A)=122[5−13−11−11111−95]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{22} \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -11 & -11 & 11 \\ 1 & -9 & 5 \end{bmatrix}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    ∣B∣=∣p2qr2pq2rp2qr2pq2r∣|B| = \begin{vmatrix} p^2 & qr & 2p \\ q^2 & rp & 2q \\ r^2 & pq & 2r \end{vmatrix}
    তৃতীয় কলাম থেকে 22 সাধারণ গুণনীয়ক হিসেবে বাইরে নিয়ে পাই,
    ∣B∣=2∣p2qrpq2rpqr2pqr∣|B| = 2 \begin{vmatrix} p^2 & qr & p \\ q^2 & rp & q \\ r^2 & pq & r \end{vmatrix}

    ১ম সারিকে pp, ২য় সারিকে qq এবং ৩য় সারিকে rr দ্বারা গুণ করে পাই (মান অপরিবর্তিত রাখতে 1pqr\frac{1}{pqr} দ্বারা গুণ করতে হবে):
    =2pqr∣p3pqrp2q3pqrq2r3pqrr2∣= \frac{2}{pqr} \begin{vmatrix} p^3 & pqr & p^2 \\ q^3 & pqr & q^2 \\ r^3 & pqr & r^2 \end{vmatrix}

    ২য় কলাম হতে pqrpqr সাধারণ গুণনীয়ক বের করে পাই,
    =2⋅pqrpqr∣p31p2q31q2r31r2∣=2∣p31p2q31q2r31r2∣= \frac{2 \cdot pqr}{pqr} \begin{vmatrix} p^3 & 1 & p^2 \\ q^3 & 1 & q^2 \\ r^3 & 1 & r^2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} p^3 & 1 & p^2 \\ q^3 & 1 & q^2 \\ r^3 & 1 & r^2 \end{vmatrix}

    কলাম অদলবদল করে (C1↔C2C_1 \leftrightarrow C_2, তারপর C2↔C3C_2 \leftrightarrow C_3, যা চিহ্নের পরিবর্তন করে না: (−1)2=1(-1)^2 = 1 অথবা সরাসরি C2↔C3C_2 \leftrightarrow C_3 করলে একটি ঋণাত্মক চিহ্ন আসবে):
    C1↔C2C_1 \leftrightarrow C_2 করে পাই:
    =−2∣1p3p21q3q21r3r2∣= -2 \begin{vmatrix} 1 & p^3 & p^2 \\ 1 & q^3 & q^2 \\ 1 & r^3 & r^2 \end{vmatrix}
    আবার C2↔C3C_2 \leftrightarrow C_3 করে পাই:
    =2∣1p2p31q2q31r2r3∣= 2 \begin{vmatrix} 1 & p^2 & p^3 \\ 1 & q^2 & q^3 \\ 1 & r^2 & r^3 \end{vmatrix}

    এখন সারি অপারেশন R1′=R1−R2R_1' = R_1 - R_2 এবং R2′=R2−R3R_2' = R_2 - R_3 প্রয়োগ করে পাই,
    =2∣0p2−q2p3−q30q2−r2q3−r31r2r3∣= 2 \begin{vmatrix} 0 & p^2 - q^2 & p^3 - q^3 \\ 0 & q^2 - r^2 & q^3 - r^3 \\ 1 & r^2 & r^3 \end{vmatrix}

    ১ম সারি থেকে (p−q)(p - q) এবং ২য় সারি থেকে (q−r)(q - r) সাধারণ গুণনীয়ক নিয়ে পাই,
    =2(p−q)(q−r)∣0p+qp2+pq+q20q+rq2+qr+r21r2r3∣= 2(p - q)(q - r) \begin{vmatrix} 0 & p + q & p^2 + pq + q^2 \\ 0 & q + r & q^2 + qr + r^2 \\ 1 & r^2 & r^3 \end{vmatrix}

    ১ম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই,
    =2(p−q)(q−r)⋅1⋅[(p+q)(q2+qr+r2)−(q+r)(p2+pq+q2)]= 2(p - q)(q - r) \cdot 1 \cdot \left[ (p + q)(q^2 + qr + r^2) - (q + r)(p^2 + pq + q^2) \right]
    ব্র্যাকেটের মধ্যকার পদগুলোর গুণফল নির্ণয় করি:
    (p+q)(q2+qr+r2)=pq2+pqr+pr2+q3+q2r+qr2(p + q)(q^2 + qr + r^2) = pq^2 + pqr + pr^2 + q^3 + q^2r + qr^2
    (q+r)(p2+pq+q2)=p2q+pq2+q3+p2r+pqr+qr2(q + r)(p^2 + pq + q^2) = p^2q + pq^2 + q^3 + p^2r + pqr + qr^2

    বিয়োগ করলে পাই:
    (pq2+pqr+pr2+q3+q2r+qr2)−(p2q+pq2+q3+p2r+pqr+qr2)(pq^2 + pqr + pr^2 + q^3 + q^2r + qr^2) - (p^2q + pq^2 + q^3 + p^2r + pqr + qr^2)
    =pr2+q2r−p2q−p2r= pr^2 + q^2r - p^2q - p^2r
    =r(pr+q2−p2)−p2q= r(pr + q^2 - p^2) - p^2q (অন্যভাবে সাজিয়ে):
    =r2(p−q)−p2(p−q)+...= r^2(p - q) - p^2(p - q) + ... না সাজিয়ে সরাসরি:
    =pr2−p2r+q2r−p2q= pr^2 - p^2r + q^2r - p^2q
    =−pr(p−r)−q(p2−qr)= -pr(p - r) - q(p^2 - qr) এভাবে না করে:
    =pr(r−p)+q(qr−p2)=(r−p)(pq+qr+rp)= pr(r - p) + q(qr - p^2) = (r - p)(pq + qr + rp)
    যাচাই:
    (r−p)(pq+qr+rp)=pqr+qr2+pr2−p2q−pqr−p2r=qr2+pr2−p2q−p2r(r - p)(pq + qr + rp) = pqr + qr^2 + pr^2 - p^2q - pqr - p^2r = qr^2 + pr^2 - p^2q - p^2r
    সুতরাং,
    [(p+q)(q2+qr+r2)−(q+r)(p2+pq+q2)]=(r−p)(pq+qr+rp)=−(p−r)(pq+qr+rp)\left[ (p + q)(q^2 + qr + r^2) - (q + r)(p^2 + pq + q^2) \right] = (r - p)(pq + qr + rp) = -(p - r)(pq + qr + rp)

    অতএব,
    ∣B∣=2(p−q)(q−r)⋅[−(p−r)(pq+qr+rp)]|B| = 2(p - q)(q - r) \cdot [-(p - r)(pq + qr + rp)]
    =−2(p−q)(q−r)(p−r)(pq+qr+rp)= -2(p - q)(q - r)(p - r)(pq + qr + rp) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন