উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle cos^{-1}(1/2) is taken in the principal range [0, pi], i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   ধরি, সরলরেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
   এখানে, θ = cos⁻¹(1/2) ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60° (বা π/3)
   অতএব, রেখাটির ঢাল, m = tan θ = tan 60° = √3
   যেহেতু রেখাটি মূলবিন্দুগামী, সুতরাং এর সমীকরণ:
   y = mx
   ⇒ y = √3x
   ⇒ √3x - y = 0
   [নোট: ঘড়ির কাঁটার দিকে কোণ বিবেচনা করলে θ = -60° হতে পারে, সেক্ষেত্রে রেখাটির সমীকরণ হবে √3x + y = 0; অর্থাৎ y = ±√3x বা √3x ∓ y = 0]।
   উত্তর: √3x - y = 0

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle cos^{-1}(1/2) is taken in the principal range [0, pi], i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   A(8, 6) এবং B(-7, -2) বিন্দুগামী রেখা AB-এর ঢাল:
   m_AB = (-2 - 6) / (-7 - 8) = -8 / -15 = 8/15

   সুতরাং AB রেখার সমীকরণ:
   y - 6 = (8/15)(x - 8)
   ⇒ 15y - 90 = 8x - 64
   ⇒ 8x - 15y + 26 = 0 ... (1)

   AB রেখার উপর লম্ব এবং P(1, 1) বিন্দুগামী রেখা PD-এর সমীকরণ:
   15x + 8y + k = 0
   যেহেতু রেখাটি P(1, 1) বিন্দুগামী:
   15(1) + 8(1) + k = 0 ⇒ k = -23
   সুতরাং PD রেখার সমীকরণ:
   15x + 8y - 23 = 0 ... (2)

   এখন, (1) ও (2) সমীকরণ সমাধান করে পাদবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:
   (1) × 8 ⇒ 64x - 120y = -208
   (2) × 15 ⇒ 225x + 120y = 345
   যোগ করে পাই,
   289x = 137 ⇒ x = 137/289

   আবার, (1) × 15 ⇒ 120x - 225y = -390
   (2) × 8 ⇒ 120x + 64y = 184
   বিয়োগ করে পাই,
   -289y = -574 ⇒ y = 574/289

   অতএব, লম্বের পাদবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক D(137/289, 574/289)।

   এখন, P(1, 1) ও D(137/289, 574/289) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   PD = √[(1 - 137/289)² + (1 - 574/289)²]
   = √[(152/289)² + (-285/289)²]
   = (1/289) × √[152² + 285²]
   = (1/289) × √[(19 × 8)² + (19 × 15)²]
   = (19/289) × √(8² + 15²)
   = (19/289) × √(64 + 225)
   = (19/289) × √289
   = (19 × 17) / 289
   = 19/17 একক। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: In part (ga), 'অন্তঃকেন্দ্র' (incenter) is assumed to be a clerical/board typographical error for 'ভরকেন্দ্র' (centroid), which is the standard textbook problem; solutions for both interpretations are provided. | In part (ka), the angle cos^{-1}(1/2) is taken in the principal range [0, pi], i.e., 60°, with the clockwise possibility (±60°) noted.

   ধরি, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)।
   ত্রিভুজটির অপর দুটি শীর্ষবিন্দু A(8, 6) এবং B(-7, -2)।

   [অনুধাবন ও সংশোধন নোট: উচ্চমাধ্যমিক পাঠ্যক্রমে শীর্ষবিন্দু ও 'ভরকেন্দ্র' সংক্রান্ত প্রশ্নটি আদর্শ। প্রশ্নে উল্লিখিত 'অন্তঃকেন্দ্র' শব্দটি সম্ভবত 'ভরকেন্দ্র'-এর করণিক বা মুদ্রণজনিত ভুল। নিচে বহুল প্রচলিত 'ভরকেন্দ্র' বিবেচনায় পূর্ণ সমাধান এবং আক্ষরিক 'অন্তঃকেন্দ্র' সংক্রান্ত বিশ্লেষণ উভয়ই উপস্থাপন করা হলো]:

   (১) 'ভরকেন্দ্র' (Centroid) বিবেচনায়:
   ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G(1/12, 1/18) হলে,
   x-স্থানাঙ্ক:
   (8 - 7 + x) / 3 = 1/12
   ⇒ (1 + x) / 3 = 1/12
   ⇒ 1 + x = 3/12 = 1/4
   ⇒ x = 1/4 - 1 = -3/4

   y-স্থানাঙ্ক:
   (6 - 2 + y) / 3 = 1/18
   ⇒ (4 + y) / 3 = 1/18
   ⇒ 4 + y = 3/18 = 1/6
   ⇒ y = 1/6 - 4 = -23/6

   অতএব, ভরকেন্দ্র বিবেচনায় C-এর স্থানাঙ্ক (-3/4, -23/6)।

   (২) প্রশ্নে প্রদত্ত 'অন্তঃকেন্দ্র' (Incenter) আক্ষরিক বিবেচনায়:
   যদি I(1/12, 1/18) ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র হয়, তবে AI এবং BI যথাক্রমে ∠A এবং ∠B-এর সমদ্বিখণ্ডক।

   • AI রেখার ঢাল ও AB রেখার ঢাল থেকে কোণ দ্বিখণ্ডকের সূত্রের সাহায্যে AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যায়।
   • একইভাবে, BI রেখার ঢাল ও AB রেখার ঢাল থেকে BC রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যায়।
   • অতঃপর AC এবং BC রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুই হবে শীর্ষবিন্দু C।