উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-I: ΔABC \Delta ABC এ A+B+C=π A + B + C = \pi
উদ্দীপক-II:

  1. ক)

    উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C ।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক-II থেকে প্রমাণ কর যে, tan⁡C−A2=c−ac+acot⁡B2 \tan \frac{C - A}{2} = \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2} ।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক-I থেকে প্রমাণ কর যে, sin⁡2A2+sin⁡2B2+sin⁡2C2=1−2sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2 \sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1 - 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} ।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-I হতে পাই, A+B+C=πA + B + C = \pi
    বা, A+B=π−CA + B = \pi - C
    উভয়পক্ষে tan⁡\tan নিয়ে পাই,
    tan⁡(A+B)=tan⁡(π−C)\tan(A + B) = \tan(\pi - C)
    বা, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B=−tan⁡C\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C
    বা, tan⁡A+tan⁡B=−tan⁡C(1−tan⁡Atan⁡B)\tan A + \tan B = -\tan C(1 - \tan A \tan B)
    বা, tan⁡A+tan⁡B=−tan⁡C+tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C
    বা, tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-II থেকে পাই, ত্রিভুজ ABCABC-এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R=rR = r (অথবা সাধারণ পরিব্যাসার্ধ RR বিবেচনা করে),
    আমরা জানি, সাইন সূত্রানুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    সুতরাং, a=2Rsin⁡Aa = 2R\sin A এবং c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C

    এখন, ডানপক্ষ =c−ac+acot⁡B2= \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2}
    =2Rsin⁡C−2Rsin⁡A2Rsin⁡C+2Rsin⁡Acot⁡B2= \frac{2R\sin C - 2R\sin A}{2R\sin C + 2R\sin A} \cot \frac{B}{2}
    =sin⁡C−sin⁡Asin⁡C+sin⁡Acot⁡B2= \frac{\sin C - \sin A}{\sin C + \sin A} \cot \frac{B}{2}
    =2cos⁡C+A2sin⁡C−A22sin⁡C+A2cos⁡C−A2cot⁡B2= \frac{2\cos\frac{C + A}{2}\sin\frac{C - A}{2}}{2\sin\frac{C + A}{2}\cos\frac{C - A}{2}} \cot \frac{B}{2}
    =cot⁡(C+A2)tan⁡(C−A2)cot⁡B2= \cot\left(\frac{C + A}{2}\right) \tan\left(\frac{C - A}{2}\right) \cot \frac{B}{2}

    যেহেতু A+B+C=πA + B + C = \pi, সেহেতু C+A2=π2−B2\frac{C + A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}
    অতএব, cot⁡(C+A2)=cot⁡(π2−B2)=tan⁡B2\cot\left(\frac{C + A}{2}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}\right) = \tan \frac{B}{2}

    সুতরাং,
    ডানপক্ষ =tan⁡B2⋅tan⁡(C−A2)⋅cot⁡B2= \tan \frac{B}{2} \cdot \tan\left(\frac{C - A}{2}\right) \cdot \cot \frac{B}{2}
    =tan⁡(C−A2)⋅(tan⁡B2cot⁡B2)= \tan\left(\frac{C - A}{2}\right) \cdot (\tan \frac{B}{2} \cot \frac{B}{2})
    =tan⁡(C−A2)⋅1= \tan\left(\frac{C - A}{2}\right) \cdot 1
    =tan⁡(C−A2)== \tan\left(\frac{C - A}{2}\right) = বামপক্ষ

    ∴tan⁡C−A2=c−ac+acot⁡B2\therefore \tan \frac{C - A}{2} = \frac{c - a}{c + a} \cot \frac{B}{2} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-I হতে পাই, A+B+C=πA + B + C = \pi বা A+B+C2=π2\frac{A + B + C}{2} = \frac{\pi}{2}

    বামপক্ষ =sin⁡2A2+sin⁡2B2+sin⁡2C2= \sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}
    =12(2sin⁡2A2+2sin⁡2B2)+sin⁡2C2= \frac{1}{2} \left(2\sin^2 \frac{A}{2} + 2\sin^2 \frac{B}{2}\right) + \sin^2 \frac{C}{2}
    =12[(1−cos⁡A)+(1−cos⁡B)]+sin⁡2C2= \frac{1}{2} \left[(1 - \cos A) + (1 - \cos B)\right] + \sin^2 \frac{C}{2}
    =12[2−(cos⁡A+cos⁡B)]+sin⁡2C2= \frac{1}{2} \left[2 - (\cos A + \cos B)\right] + \sin^2 \frac{C}{2}
    =1−12(cos⁡A+cos⁡B)+sin⁡2C2= 1 - \frac{1}{2}(\cos A + \cos B) + \sin^2 \frac{C}{2}
    =1−12[2cos⁡A+B2cos⁡A−B2]+sin⁡2C2= 1 - \frac{1}{2} \left[2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}\right] + \sin^2 \frac{C}{2}
    =1−cos⁡(π2−C2)cos⁡A−B2+sin⁡2C2= 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right)\cos\frac{A - B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}
    =1−sin⁡C2cos⁡A−B2+sin⁡2C2= 1 - \sin\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}
    =1−sin⁡C2(cos⁡A−B2−sin⁡C2)= 1 - \sin\frac{C}{2} \left(\cos\frac{A - B}{2} - \sin\frac{C}{2}\right)
    =1−sin⁡C2[cos⁡A−B2−sin⁡(π2−A+B2)]= 1 - \sin\frac{C}{2} \left[\cos\frac{A - B}{2} - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A + B}{2}\right)\right]
    =1−sin⁡C2[cos⁡A−B2−cos⁡A+B2]= 1 - \sin\frac{C}{2} \left[\cos\frac{A - B}{2} - \cos\frac{A + B}{2}\right]
    =1−sin⁡C2[2sin⁡A2sin⁡B2]= 1 - \sin\frac{C}{2} \left[2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\right]
    =1−2sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2== 1 - 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} = ডানপক্ষ

    ∴sin⁡2A2+sin⁡2B2+sin⁡2C2=1−2sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\therefore \sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1 - 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন