উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে বক্ররেখার সমীকরণ, $y = ax(1 - x) = ax - ax^2$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = a - 2ax$
   মূলবিন্দুতে $(0, 0)$ স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = a - 2a(0) = a$
   প্রশ্নমতে, স্পর্শকটি $x$-অক্ষের সাথে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
   অতএব, ঢাল $m = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$
   সুতরাং, $a = \sqrt{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x, y) = 0 \implies x^2 - y^2 - 7 = 0$
   বা, $x^2 - y^2 = 7$
   উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$
   $(4, -3)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, -3)} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

   অতএব, $(4, -3)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 4)$
   $\implies 3(y + 3) = -4(x - 4)$
   $\implies 3y + 9 = -4x + 16$
   $\implies 4x + 3y - 7 = 0$

   $(4, -3)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - (-3) = -\frac{1}{m}(x - 4)$
   $\implies y + 3 = \frac{3}{4}(x - 4)$
   $\implies 4(y + 3) = 3(x - 4)$
   $\implies 4y + 12 = 3x - 12$
   $\implies 3x - 4y - 24 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = e^x$
   ধরি, $y = 4f(x) + 9f(-x) = 4e^x + 9e^{-x}$
   $x$-এর সাপেক্ষে পরপর দুইবার অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = 4e^x - 9e^{-x}$
   $\frac{d^2y}{dx^2} = 4e^x + 9e^{-x}$

   লঘুমানের জন্য,
   $\frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies 4e^x - 9e^{-x} = 0$
   $\implies 4e^x = \frac{9}{e^x}$
   $\implies e^{2x} = \frac{9}{4}$
   $\implies e^x = \frac{3}{2}$ [যেহেতু $e^x > 0$]

   এখন, $e^x = \frac{3}{2}$ হলে,
   $\frac{d^2y}{dx^2} = 4\left(\frac{3}{2}\right) + 9\left(\frac{2}{3}\right) = 6 + 6 = 12 > 0$
   যেহেতু দ্বিতীয় অন্তরক ধনাত্মক, তাই $e^x = \frac{3}{2}$ এর জন্য লঘুমান বিদ্যমান।

   অতএব, নির্ণেয় লঘুমান = $4\left(\frac{3}{2}\right) + 9\left(\frac{2}{3}\right) = 6 + 6 = 12$।