উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • অষ্টম অধ্যায়: ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র • DU • ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় ক ইউনিট (বিজ্ঞান) ভর্তি পরীক্ষা ২০১৯-২০২০

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

যদি f(x)=−x−1f(x) = -\sqrt{x-1} এবং বিপরীত ফাংশন f−1(x)f^{-1}(x) হয় তবে দেখাও যে, f(f−1(x))=f−1(f(x))f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)).

উত্তর ও ব্যাখ্যা

(4) দেওয়া আছে f(x)=−x−1f(x)=-\sqrt{x-1}। এর ডোমেন x≥1x\ge1 এবং রেঞ্জ f(x)≤0f(x)\le0।

বিপরীত ফাংশন নির্ণয়: ধরি y=−x−1y=-\sqrt{x-1}, তাহলে y≤0y\le0 এবং y2=x−1y^2=x-1 ⇒ x=y2+1x=y^2+1।
অতএব f−1(x)=x2+1f^{-1}(x)=x^2+1, যেখানে ডোমেন x≤0x\le0 (এটিই ff-এর রেঞ্জ) এবং রেঞ্জ f−1(x)≥1f^{-1}(x)\ge1।

(i) f(f−1(x))=f(x2+1)=−(x2+1)−1=−x2=−∣x∣f\left(f^{-1}(x)\right)=f(x^2+1)=-\sqrt{(x^2+1)-1}=-\sqrt{x^2}=-|x|।
যেহেতু x≤0x\le0, ∣x∣=−x|x|=-x; তাই f(f−1(x))=−(−x)=xf\left(f^{-1}(x)\right)=-(-x)=x।

(ii) f−1(f(x))=(−x−1)2+1=(x−1)+1=xf^{-1}\left(f(x)\right)=\left(-\sqrt{x-1}\right)^2+1=(x-1)+1=x (যেখানে x≥1x\ge1)।

সুতরাং f(f−1(x))=f−1(f(x))=xf\left(f^{-1}(x)\right)=f^{-1}\left(f(x)\right)=x। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন