উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   (3y + 1)² = 9(2x - 3)
   ⇒ [3(y + 1/3)]² = 18(x - 3/2)
   ⇒ 9(y + 1/3)² = 18(x - 3/2)
   ⇒ (y + 1/3)² = 2(x - 3/2)

   ধরি, Y = y + 1/3, X = x - 3/2 এবং সমীকরণটি Y² = 4AX এর সাথে তুলনা করে পাই:
   4A = 2 ⇒ A = 1/2

   শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   X = 0 ⇒ x - 3/2 = 0 ⇒ x = 3/2
   Y = 0 ⇒ y + 1/3 = 0 ⇒ y = -1/3
   অতএব, শীর্ষবিন্দু (3/2, -1/3)।

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4A| = |2| = 2 একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১: f(x, y) = y² - 4ax = 0 ⇒ y² = 4ax ... (i)
   প্রদত্ত স্পর্শক রেখা: x - 2y + 2 = 0
   ⇒ 2y = x + 2
   ⇒ y = (1/2)x + 1

   এটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, m = 1/2 এবং c = 1।
   y² = 4ax পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে স্পর্শকের শর্ত: c = a/m
   ⇒ 1 = a / (1/2)
   ⇒ a = 1/2

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = (a, 0) = (1/2, 0)।
   নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   x = -a
   ⇒ x = -1/2
   ⇒ 2x + 1 = 0।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২: f(x, y) = 5x² + 4y² - 10x + 16y + 1 = 0
   ⇒ 5(x² - 2x) + 4(y² + 4y) + 1 = 0
   ⇒ 5(x - 1)² - 5 + 4(y + 2)² - 16 + 1 = 0
   ⇒ 5(x - 1)² + 4(y + 2)² = 20
   উভয়পক্ষকে 20 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   (x - 1)²/4 + (y + 2)²/5 = 1
   যা (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 আকারের একটি উপবৃত্ত, যেখানে a² = 4 এবং b² = 5।
   যেহেতু b > a, এটি একটি উপবৃত্ত যার বৃহৎ অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরাল।

   উৎকেন্দ্রিকতা, e = √(1 - a²/b²) = √(1 - 4/5) = √(1/5) = 1/√5

   ধরি, X = x - 1, Y = y + 2

   (i) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
   X = 0 ⇒ x - 1 = 0 ⇒ x = 1
   Y = ±be = ±√5 · (1/√5) = ±1
   ⇒ y + 2 = 1 ⇒ y = -1
   ⇒ y + 2 = -1 ⇒ y = -3
   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয়: (1, -1) ও (1, -3)।

   (ii) উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   = 2be = 2 · √5 · (1/√5) = 2 একক।

   (iii) নিয়ামক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   Y = ±b/e
   ⇒ y + 2 = ±√5 / (1/√5) = ±5
   ⇒ y + 2 = 5 ⇒ y - 3 = 0
   এবং y + 2 = -5 ⇒ y + 7 = 0
   অতএব, নিয়ামক রেখার সমীকরণ: y - 3 = 0 এবং y + 7 = 0 (বা y + 2 = ±5)।