lim⁡x→0sin⁡x−log⁡e(excos⁡x)xsin⁡x \lim_{x o 0} \frac{\sin x - \log_e(e^x \cos x)}{x \sin x} এর মান কোনটি?

Question

lim⁡x→0sin⁡x−log⁡e(excos⁡x)xsin⁡x \lim_{x 	o 0} \frac{\sin x - \log_e(e^x \cos x)}{x \sin x} এর মান কোনটি?

Accepted Answer

গ. 12 \frac{1}{2}

ব্যাখ্যা: লব: $\sin x - \log_e(e^x \cos x) = \sin x - x - \ln(\cos x)$।
$x = 0$ এর নিকটবর্তী ধারার বিস্তার ব্যবহার করে পাই:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + \dotsight) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
সুতরাং লব $= \left(x - \frac{x^3}{6} + \dotsight) - x - \left(-\frac{x^2}{2} + \dotsight) = \frac{x^2}{2} + O(x^3)$।
হর: $x \sin x = x\left(x - \frac{x^3}{6} + \dotsight) = x^2 + O(x^4)$।
অতএব, $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin x - \log_e(e^x \cos x)}{x \sin x} = \lim_{x 	o 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন