গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ত্রিঘাত ফাংশনটি $f(x)$।
যেহেতু $x = -3$ এবং $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মান বিদ্যমান, তাই $f'(-3) = 0$ এবং $f'(1) = 0$ হবে।

সুতরাং,
$f'(x) = a(x + 3)(x - 1) = a(x^2 + 2x - 3)$

উভয়পক্ষে সমাকলন করে পাই,
$f(x) = \int a(x^2 + 2x - 3) \, dx$
$f(x) = a\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x\right) + c$

প্রশ্নমতে,
$f(-3) = 15$
$\implies a\left(\frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3)\right) + c = 15$
$\implies a(-9 + 9 + 9) + c = 15$
$\implies 9a + c = 15$ ... (i)

এবং $f(1) = -17$
$\implies a\left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) + c = -17$
$\implies -\frac{5}{3}a + c = -17$ ... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
$9a - \left(-\frac{5}{3}a\right) = 15 - (-17)$
$\implies \frac{32}{3}a = 32$
$\implies a = 3$

$a$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$9(3) + c = 15$
$\implies 27 + c = 15$
$\implies c = -12$

অতএব, নির্ণেয় ফাংশনটি হলো:
$f(x) = 3\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x\right) - 12$
$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 12$ (Ans.)