উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $^{n}P_{r} = r! \times {}^{n}C_{r}$

   দেওয়া আছে, $^{n}P_{r} = 54$ এবং $^{n}C_{r} = 9$

   অতএব,
   $54 = r! \times 9$
   $\Rightarrow r! = \frac{54}{9} = 6$
   $\Rightarrow r! = 3!$
   $\Rightarrow r = 3$

   নির্ণেয় মান: $r = 3$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ইউজার আইডি হলো "COMBINATION"।
   এখানে মোট ১১টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে:
   O আছে ২টি,
   I আছে ২টি,
   N আছে ২টি,
   এবং C, M, B, A, T আছে ১টি করে (৫টি ভিন্ন বর্ণ)।
   অর্থাৎ, মোট ৮ ধরণের ভিন্ন বর্ণ রয়েছে (C, O, M, B, I, N, A, T)।

   প্রতিবার ৪টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর সম্ভাব্য ক্ষেত্রসমূহ:

   ১. চারটি বর্ণই ভিন্ন:
   ৮টি ভিন্ন বর্ণ থেকে ৪টি বর্ণ নির্বাচন ও বিন্যাস করা যায়:
   $^{8}P_{4} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ উপায়ে।

   ২. দুইটি একই এবং দুইটি ভিন্ন বর্ণ:
   ৩ জোড়া একজাতীয় বর্ণ (O, I, N) থেকে ১ জোড়া নির্বাচন করা যায় $^{3}C_{1}$ উপায়ে।
   অবশিষ্ট ৭টি ভিন্ন বর্ণ থেকে ২টি ভিন্ন বর্ণ নির্বাচন করা যায় $^{7}C_{2}$ উপায়ে।
   প্রতি ক্ষেত্রে ৪টি বর্ণ (যার ২টি একজাতীয়) সাজানো যায় $\frac{4!}{2!}$ উপায়ে।
   মোট উপায় $= {}^{3}C_{1} \times {}^{7}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 21 \times 12 = 756$।

   ৩. দুইটি একই এবং অপর দুইটিও একই বর্ণ:
   ৩ জোড়া একজাতীয় বর্ণ থেকে ২ জোড়া নির্বাচন করা যায় $^{3}C_{2}$ উপায়ে।
   এদের সাজানো যায় $\frac{4!}{2! 2!}$ উপায়ে।
   মোট উপায় $= {}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2! 2!} = 3 \times 6 = 18$।

   অতএব, মোট সাজানোর সংখ্যা $= 1680 + 756 + 18 = 2454$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাসওয়ার্ডের অংকগুলো হলো: 0, 1, 2, 5, 6।
   এখানে মোট অংক ৫টি।
   এদের একবার ব্যবহার করে ৫ অংকবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হবে।

   সংখ্যাটি বিজোড় হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি অবশ্যই বিজোড় (1 অথবা 5) হতে হবে।

   একক স্থানে 1 অথবা 5 বসানো যায় $= 2$ উপায়ে।

   এখন, একটি বিজোড় অংক একক স্থানে নির্ধারিত হলে অবশিষ্ট থাকে ৪টি অংক (যার একটি 0)।
   অর্থপূর্ণ ৫ অংকবিশিষ্ট সংখ্যার জন্য প্রথম (সর্ববামের) স্থানে 0 বসতে পারবে না।

   অবশিষ্ট ৪টি অংকের মধ্যে 0 বাদে ৩টি অংক থেকে প্রথম স্থানের জন্য ১টি অংক বাছাই করা যায় $= 3$ উপায়ে।

   এরপর বাকি ৩টি স্থানে বাকি ৩টি অংক সাজানো যায় $= 3! = 6$ উপায়ে।

   অতএব, মোট ৫ অংকবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা $= 2 \times 3 \times 6 = 36$ টি।