উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুইটি বলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান যথাক্রমে 10 ও 2 কেজি-ওজন। যখন বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 60∘60^\circ তখন তাদের লব্ধির মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে α=3β\alpha = 3\beta হলে দেখাও যে cos⁡α3=P2Q\cos \frac{\alpha}{3} = \frac{P}{2Q} এবং লব্ধি RR হলে R=P2−Q2Q R = \frac{P^2 - Q^2}{Q}

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্য-২ অনুসারে XX, YY ও ZZ বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে X21+cos⁡A=Y21+cos⁡B=Z21+cos⁡C \frac{X^2}{1 + \cos A} = \frac{Y^2}{1 + \cos B} = \frac{Z^2}{1 + \cos C} যেখানে অন্তঃকেন্দ্র।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, বলদ্বয় যথাক্রমে PP ও QQ, যেখানে P≥QP \ge Q।

    শর্তমতে,
    বৃহত্তম লব্ধি, P+Q=10P + Q = 10 কেজি-ওজন ...... (i)
    ক্ষুদ্রতম লব্ধি, P−Q=2P - Q = 2 কেজি-ওজন ...... (ii)

    (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
    2P=12  ⟹  P=62P = 12 \implies P = 6 কেজি-ওজন।

    (i) নং সমীকরণে PP-এর মান বসিয়ে পাই,
    6+Q=10  ⟹  Q=46 + Q = 10 \implies Q = 4 কেজি-ওজন।

    যখন বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ=60∘\theta = 60^\circ, তখন তাদের লব্ধি RR হলে,
    R=P2+Q2+2PQcos⁡60∘R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos 60^\circ}
    =62+42+2⋅6⋅4⋅12= \sqrt{6^2 + 4^2 + 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}}
    =36+16+24= \sqrt{36 + 16 + 24}
    =76=219= \sqrt{76} = 2\sqrt{19} কেজি-ওজন।

    উত্তর: 2192\sqrt{19} কেজি-ওজন।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে,
    PP ও QQ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এবং লব্ধি RR বলটি PP-এর সাথে β\beta কোণ উৎপন্ন করে।
    সুতরাং, RR বলের সাথে QQ বলের কোণ =α−β= \alpha - \beta।

    বলের সাইন সূত্রানুসারে,
    Psin⁡(α−β)=Qsin⁡β=Rsin⁡α\frac{P}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \alpha}

    দেওয়া আছে, α=3β  ⟹  β=α3\alpha = 3\beta \implies \beta = \frac{\alpha}{3}
    অতএব, α−β=3β−β=2β\alpha - \beta = 3\beta - \beta = 2\beta

    এখন প্রথম অনুপাতদ্বয় হতে,
    Psin⁡2β=Qsin⁡β\frac{P}{\sin 2\beta} = \frac{Q}{\sin \beta}
      ⟹  P2sin⁡βcos⁡β=Qsin⁡β\implies \frac{P}{2\sin\beta\cos\beta} = \frac{Q}{\sin\beta}
      ⟹  P=2Qcos⁡β\implies P = 2Q \cos\beta
      ⟹  cos⁡β=P2Q\implies \cos\beta = \frac{P}{2Q}
      ⟹  cos⁡α3=P2Q\implies \cos\frac{\alpha}{3} = \frac{P}{2Q} [প্রমাণিত]

    আবার,
    Rsin⁡α=Qsin⁡β\frac{R}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta}
      ⟹  R=Q⋅sin⁡3βsin⁡β\implies R = Q \cdot \frac{\sin 3\beta}{\sin \beta}
      ⟹  R=Q⋅3sin⁡β−4sin⁡3βsin⁡β\implies R = Q \cdot \frac{3\sin\beta - 4\sin^3\beta}{\sin\beta}
      ⟹  R=Q(3−4sin⁡2β)\implies R = Q(3 - 4\sin^2\beta)
      ⟹  R=Q[3−4(1−cos⁡2β)]\implies R = Q[3 - 4(1 - \cos^2\beta)]
      ⟹  R=Q(4cos⁡2β−1)\implies R = Q(4\cos^2\beta - 1)

    cos⁡β=P2Q\cos\beta = \frac{P}{2Q} বসিয়ে পাই,
    R=Q[4(P2Q)2−1]R = Q\left[4\left(\frac{P}{2Q}\right)^2 - 1\right]
      ⟹  R=Q[4⋅P24Q2−1]\implies R = Q\left[4 \cdot \frac{P^2}{4Q^2} - 1\right]
      ⟹  R=Q(P2Q2−1)\implies R = Q\left(\frac{P^2}{Q^2} - 1\right)
      ⟹  R=Q(P2−Q2Q2)\implies R = Q\left(\frac{P^2 - Q^2}{Q^2}\right)
      ⟹  R=P2−Q2Q\implies R = \frac{P^2 - Q^2}{Q} [দেখানো হলো]

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্য-২ অনুসারে, OO হলো △ABC\triangle ABC-এর অন্তঃকেন্দ্র এবং OO বিন্দু হতে OA,OB,OCOA, OB, OC বরাবর যথাক্রমে X,Y,ZX, Y, Z মানের তিনটি বল ক্রিয়াশীল হয়ে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

    যেহেতু OO অন্তঃকেন্দ্র, তাই OA,OB,OCOA, OB, OC রেখাগুলি যথাক্রমে ∠A,∠B,∠C\angle A, \angle B, \angle C-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    অতএব, △OBC\triangle OBC এ:
    ∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(B2+C2)=180∘−(180∘−A2)=90∘+A2\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right) = 180^\circ - \left(\frac{180^\circ - A}{2}\right) = 90^\circ + \frac{A}{2}

    অনুরূপভাবে,
    ∠COA=90∘+B2\angle COA = 90^\circ + \frac{B}{2}
    ∠AOB=90∘+C2\angle AOB = 90^\circ + \frac{C}{2}

    যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় রয়েছে, লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
    Xsin⁡∠BOC=Ysin⁡∠COA=Zsin⁡∠AOB\frac{X}{\sin \angle BOC} = \frac{Y}{\sin \angle COA} = \frac{Z}{\sin \angle AOB}

      ⟹  Xsin⁡(90∘+A2)=Ysin⁡(90∘+B2)=Zsin⁡(90∘+C2)\implies \frac{X}{\sin\left(90^\circ + \frac{A}{2}\right)} = \frac{Y}{\sin\left(90^\circ + \frac{B}{2}\right)} = \frac{Z}{\sin\left(90^\circ + \frac{C}{2}\right)}

      ⟹  Xcos⁡A2=Ycos⁡B2=Zcos⁡C2\implies \frac{X}{\cos\frac{A}{2}} = \frac{Y}{\cos\frac{B}{2}} = \frac{Z}{\cos\frac{C}{2}}

    বর্গ করে পাই,
    X2cos⁡2A2=Y2cos⁡2B2=Z2cos⁡2C2\frac{X^2}{\cos^2\frac{A}{2}} = \frac{Y^2}{\cos^2\frac{B}{2}} = \frac{Z^2}{\cos^2\frac{C}{2}}

    হরগুলোকে 22 দ্বারা গুণ করে পাই,
    X22cos⁡2A2=Y22cos⁡2B2=Z22cos⁡2C2\frac{X^2}{2\cos^2\frac{A}{2}} = \frac{Y^2}{2\cos^2\frac{B}{2}} = \frac{Z^2}{2\cos^2\frac{C}{2}}

    যেহেতু 2cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta, সুতরাং:
    X21+cos⁡A=Y21+cos⁡B=Z21+cos⁡C\frac{X^2}{1 + \cos A} = \frac{Y^2}{1 + \cos B} = \frac{Z^2}{1 + \cos C} [প্রমাণিত]

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন