উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত নমুনাক্ষেত্র S নিম্নরূপ:

   S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = 2^3 = 8।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রশ্নটিতে 'ও অথবা 5 এর গুণিতক' মুদ্রণটি ঢাকা বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নে '3 অথবা 5 এর গুণিতক' ছিল।

   দেওয়া আছে, S = {1, 2, 3, ..., 50}।
   মোট উপাদান সংখ্যা, n(S) = 50।

   ধরি,
   A = 3 এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48}
   এখানে, n(A) = [50/3] = 16।

   B = 5 এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
   এখানে, n(B) = [50/5] = 10।

   A ∩ B = 3 ও 5 এর গুণিতক (অর্থাৎ 15 এর গুণিতক) হওয়ার ঘটনা = {15, 30, 45}
   এখানে, n(A ∩ B) = [50/15] = 3।

   অতএব, 3 অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সংখ্যা:
   n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 16 + 10 - 3 = 23।

   সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা P(A ∪ B) = n(A ∪ B) / n(S) = 23/50।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   S এর জোড় সংখ্যাগুলি হলো:
   2, 4, 6, 8, ..., 50

   এখানে মোট পদের সংখ্যা, n = 25।
   পদগুলি একটি সমান্তর ধারা গঠন করে যার প্রথম পদ a = 2 এবং সাধারণ অন্তর d = 2।
   সংখ্যাগুলোকে লেখা যায়: x_i = 2i, যেখানে i = 1, 2, ..., 25।

   গড়, x̄ = (∑ x_i) / n = 2 * (∑ i) / 25
   = 2 * [25 * 26 / 2] / 25 = 26।

   বর্গের সমষ্টি, ∑ x_i^2 = ∑ (2i)^2 = 4 * ∑ i^2
   = 4 * [25 * (25 + 1) * (2 * 25 + 1)] / 6
   = 4 * [25 * 26 * 51] / 6
   = 4 * 5525 = 22100।

   অতএব, ভেদাংক (Variance), σ^2 = (∑ x_i^2 / n) - (x̄)^2
   = (22100 / 25) - (26)^2
   = 884 - 676
   = 208।

   সুতরাং, জোড় সংখ্যাগুলির ভেদাংক হলো 208।