উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, সুষম ত্বরণ $f$ এবং আদিবেগ $u$ হলে $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
   $s_t = u + \frac{1}{2}f(2t - 1)$

   প্রশ্নমতে,
   ৭ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_7 = u + \frac{1}{2}f(2 \times 7 - 1) = u + \frac{13}{2}f = 36 \quad \text{--- (১)}$

   ১০ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_{10} = u + \frac{1}{2}f(2 \times 10 - 1) = u + \frac{19}{2}f = 48 \quad \text{--- (২)}$

   সমীকরণ (২) হতে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই,
   $\left(u + \frac{19}{2}f\right) - \left(u + \frac{13}{2}f\right) = 48 - 36$
   $\Rightarrow \frac{6}{2}f = 12$
   $\Rightarrow 3f = 12$
   $\Rightarrow f = 4\text{ ms}^{-2}$

   অতএব, $f$ এর মান $4\text{ ms}^{-2}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $s$ এবং সর্বোচ্চ বেগ = $v$।

   উদ্দীপক অনুযায়ী,
   ১ম অংশের দৈর্ঘ্য, $s_1 = \frac{1}{12\frac{1}{2}} s = \frac{2}{25}s$ (অথবা পথটির $12\frac{1}{2}\% = \frac{1}{8}s$)
   [উভয় ক্ষেত্রে একই গাণিতিক নিয়ম প্রযোজ্য। এখানে ভগ্নাংশ $12\frac{1}{2}\% = \frac{1}{8}$ এবং $13\frac{1}{3}\% = \frac{2}{15}$ হিসেবে সাধারণত পাঠ্যপুস্তকের প্রশ্ন তৈরি হয়। যদি এটি ভগ্নাংশের অংশ $\frac{1}{m}$ ও $\frac{1}{n}$ হয়, তবে $m = 12\frac{1}{2} = \frac{25}{2}$ এবং $n = 13\frac{1}{3} = \frac{40}{3}$]

   ১ম অংশে কণাটি স্থির অবস্থা থেকে $v$ সর্বোচ্চ বেগ অর্জন করে:
   গড় বেগ = $\frac{0 + v}{2} = \frac{v}{2}$
   অতএব, প্রয়োজনীয় সময় $t_1 = \frac{s_1}{\frac{v}{2}} = \frac{2s_1}{v}$

   শেষ অংশে কণাটি $v$ বেগ থেকে থেমে যায়:
   গড় বেগ = $\frac{v + 0}{2} = \frac{v}{2}$
   অতএব, প্রয়োজনীয় সময় $t_3 = \frac{s_3}{\frac{v}{2}} = \frac{2s_3}{v}$

   অবশিষ্ট পথ $s_2 = s - (s_1 + s_3)$ কণাটি সমবেগ $v$ তে চলে।
   অতএব, প্রয়োজনীয় সময় $t_2 = \frac{s_2}{v} = \frac{s - s_1 - s_3}{v}$

   মোট সময়,
   $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{2s_1}{v} + \frac{s - s_1 - s_3}{v} + \frac{2s_3}{v} = \frac{s + s_1 + s_3}{v}$

   এখানে, ১ম অংশ $s_1 = \frac{1}{12\frac{1}{2}}s = \frac{2}{25}s$ এবং শেষ অংশ $s_3 = \frac{1}{13\frac{1}{3}}s = \frac{3}{40}s$
   তাহলে, $s_1 + s_3 = \left(\frac{2}{25} + \frac{3}{40}\right)s = \frac{16 + 15}{200}s = \frac{31}{200}s$
   সেক্ষেত্রে $T = \frac{s + \frac{31}{200}s}{v} = \frac{231s}{200v}$
   গড় বেগ $v_{\text{avg}} = \frac{s}{T} = \frac{200}{231}v$
   অনুপাত $\frac{v}{v_{\text{avg}}} = \frac{231}{200} \neq 11:6$।

   অন্য পাঠান্তরে, যদি ভগ্নাংশ যথাক্রমে $\frac{1}{m}$ ও $\frac{1}{n}$ অংশের সমষ্টি এমন হয় যেন $s + s_1 + s_3 = \frac{11}{6}s$ না হয়ে ভিন্ন হয়, তবে অনুপাতটি $11:6$ হয় না।

   অতএব, প্রদত্ত তথ্যানুযায়ী সর্বোচ্চ বেগ ও গড় বেগের অনুপাত $11:6$ হওয়া সঠিক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী,
   কণাটির প্রক্ষেপণ কোণ, $\alpha = 60^\circ$
   সর্বাধিক উচ্চতা, $H = 4.9\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$

   আমরা জানি,
   সর্বাধিক উচ্চতা, $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
   এবং অনুভূমিক পাল্লা, $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$

   সুতরাং,
   $\frac{R}{H} = \frac{\frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}}{\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}} = \frac{4 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 4 \cot \alpha$
   $\Rightarrow R = 4 H \cot \alpha$

   মান বসিয়ে পাই,
   $R = 4 \times 4.9 \times \cot 60^\circ$
   $R = 19.6 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
   $R = \frac{19.6}{1.732} \approx 11.316\text{ m}$

   অতএব, কণাটির অনুভূমিক পাল্লা $11.316\text{ m}$ (বা $\frac{19.6}{\sqrt{3}}\text{ m}$)।