উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   3N ও 5N বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $60^\circ$ বা $\frac{\pi}{3}$ radian।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P=8, Q=7, R=5$ এবং বলত্রয়ের লব্ধি লম্ববিন্দুগামী হওয়ায় $P : Q : R = \tan A : \tan B : \tan C$।
   $\therefore \frac{\tan A}{8} = \frac{\tan B}{7} = \frac{\tan C}{5} \Rightarrow \frac{\sin A}{8\cos A} = \frac{\sin B}{7\cos B} = \frac{\sin C}{5\cos C}$।
   সাইন সূত্র হতে $\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 4 : 5 : 2$ বসিয়ে পাই,
   $\frac{4}{8\cos A} = \frac{5}{7\cos B} = \frac{2}{5\cos C} \Rightarrow \frac{1}{2\cos A} = \frac{5}{7\cos B} = \frac{2}{5\cos C}$।
   $\therefore 2\cos A = \frac{7}{5}\cos B = \frac{5}{2}\cos C = k \Rightarrow \cos A = \frac{k}{2}, \cos B = \frac{5k}{7}, \cos C = \frac{2k}{5}$।
   অতএব, $\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{2} : \frac{5}{7} : \frac{2}{5} = 35 : 50 : 28$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   খুঁটি দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $CD = \frac{1}{3} \times 15 = 5$ মিটার।
   ভারসাম্যের জন্য খুঁটি দুইটির উপর প্রযুক্ত ঊর্ধ্বমুখী বলের লব্ধি এবং বালকদের নিম্নমুখী ওজনের লব্ধি একই বিন্দু $G$-তে ক্রিয়া করবে, যেখানে $A$ হতে $G$-এর দূরত্ব $AG = \frac{32 \times 15}{24+32} = \frac{480}{56} = \frac{60}{7}$ মিটার (বা $8\frac{4}{7}$ মিটার)।
   তক্তাটি উল্টে না পড়ার শর্তানুসারে লব্ধি বিন্দুটি খুঁটিদ্বয়ের মাঝে থাকতে হবে।
   অতএব, $A$ প্রান্ত হতে প্রথম খুঁটির দূরত্ব $x$ হলে, দ্বিতীয় খুঁটির দূরত্ব $(x+5)$ মিটার, যেখানে $3\frac{4}{7} \le x \le 8\frac{4}{7}$ মিটার। খুঁটি দুইটিতে সমান চাপ বিবেচনা করলে $A$ হতে খুঁটি দুইটির অবস্থান হবে যথাক্রমে $6\frac{1}{14}$ মিটার এবং $11\frac{1}{14}$ মিটার দূরত্বে।