উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $2x - 3y + 5 = 0$ ...(i)
   $7x + 4y - 3 = 0$ ...(ii)

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{x}{(-3)(-3) - (4)(5)} = \frac{y}{(5)(7) - (-3)(2)} = \frac{1}{(2)(4) - (7)(-3)}$
   $\implies \frac{x}{9 - 20} = \frac{y}{35 + 6} = \frac{1}{8 + 21}$
   $\implies \frac{x}{-11} = \frac{y}{41} = \frac{1}{29}$
   $\therefore x = -\frac{11}{29}, \quad y = \frac{41}{29}$

   অতএব, সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু $\left(-\frac{11}{29}, \frac{41}{29}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সামান্তরিকটি $ABCD$, যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় $AB$ ও $AD$ এর সমীকরণ:
   $AB: x - 2y + 3 = 0$ ...(i)
   $AD: 2x + 3y - 1 = 0$ ...(ii)

   (i) ও (ii) সমাধান করে শীর্ষবিন্দু $A$ নির্ণয় করি:
   (i) নং হতে $x = 2y - 3$, (ii) নং-এ বসিয়ে পাই:
   $2(2y - 3) + 3y - 1 = 0 \implies 4y - 6 + 3y - 1 = 0 \implies 7y = 7 \implies y = 1$
   $\therefore x = 2(1) - 3 = -1$
   সুতরাং, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-1, 1)$।

   কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু হলো মধ্যবিন্দু $M(2, -3)$।
   ধরি, বিপরীত শীর্ষ $C$ এর স্থানাঙ্ক $(\alpha, \beta)$।
   যেহেতু $AC$ কর্ণের মধ্যবিন্দু $M$,
   $\frac{-1 + \alpha}{2} = 2 \implies -1 + \alpha = 4 \implies \alpha = 5$
   $\frac{1 + \beta}{2} = -3 \implies 1 + \beta = -6 \implies \beta = -7$
   অতএব, $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(5, -7)$।

   অপর বাহু দুইটি হলো $CD$ এবং $BC$।
   $CD$ রেখা $AB$ এর সমান্তরাল এবং $C(5, -7)$ বিন্দুগামী।
   $AB$ এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ: $x - 2y + k_1 = 0$
   $C(5, -7)$ বিন্দুগামী হওয়ায়: $5 - 2(-7) + k_1 = 0 \implies 5 + 14 + k_1 = 0 \implies k_1 = -19$
   সুতরাং, $CD$ বাহুর সমীকরণ: $x - 2y - 19 = 0$।

   $BC$ রেখা $AD$ এর সমান্তরাল এবং $C(5, -7)$ বিন্দুগামী।
   $AD$ এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ: $2x + 3y + k_2 = 0$
   $C(5, -7)$ বিন্দুগামী হওয়ায়: $2(5) + 3(-7) + k_2 = 0 \implies 10 - 21 + k_2 = 0 \implies k_2 = 11$
   সুতরাং, $BC$ বাহুর সমীকরণ: $2x + 3y + 11 = 0$।

   অতএব, অপর বাহু দুইটির সমীকরণ: $x - 2y - 19 = 0$ এবং $2x + 3y + 11 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে উল্লিখিত প্রথম সরলরেখার সমীকরণ:
   $x - 2y + 3 = 0$

   উক্ত সরলরেখার সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $x - 2y + k = 0$

   রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $d = \frac{|k - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|k - 3|}{\sqrt{5}}$

   প্রশ্নমতে,
   $\frac{|k - 3|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
   $\implies |k - 3| = 5$
   $\implies k - 3 = \pm 5$
   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $k = 3 + 5 = 8$
   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে, $k = 3 - 5 = -2$

   অতএব, নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $x - 2y + 8 = 0$ এবং $x - 2y - 2 = 0$।