উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: একটি বস্ত্র u˙ \dot{u} বেগে এবং আনুভূমিকের সাথে α \alpha কোণে নিক্ষেপ করা হলো। বক্সটির আনুডুমিক পাল্পা R R ; সর্বাধিক উচ্চতা H H ।দৃশ্যকল্প-২: h h উচ্চতাবিশিষ্ট একটি টাওয়ারের শীর্ষবিন্দু হতে অবাধে পড়ন্ত একটি বল x x মিটার দূরতে পৌছালে টাওয়ারের শীর্ষবিন্দুর 2x 2 x মিটার নিচে কোনো বিন্দু থেকে আর একটি বল ফেলা হল। বল দুইটি একই সাথে ভূমিতে পড়ল ।

  1. ক)

    দেখাও.যে, দুইটি সমমানের সমবিন্দু বেগের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে সমঘিখণ্ডিত করে।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে, প্রমাণ কর যে, 16gH2−8u2H+gR2=0 16 g H^{2}-8 u^{2} H+g R^{2}=0 .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, h=94x h=\frac{9}{4} x .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমমানের দুইটি বেগ uu এবং uu। এদের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এবং লব্ধি বেগ ww যা প্রথম বেগ uu-এর সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে।

    আমরা জানি,
    tan⁡θ=usin⁡αu+ucos⁡α=usin⁡αu(1+cos⁡α)=sin⁡α1+cos⁡α\tan\theta = \frac{u\sin\alpha}{u + u\cos\alpha} = \frac{u\sin\alpha}{u(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}
    =2sin⁡α2cos⁡α22cos⁡2α2=tan⁡α2= \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}

    ∴θ=α2\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}

    অতএব, লব্ধি বেগ বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ হতে,
    আনুভূমিক পাল্লা R=u2sin⁡2αg=2u2sin⁡αcos⁡αgR = \frac{u^2\sin 2\alpha}{g} = \frac{2u^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}
    সর্বাধিক উচ্চতা H=u2sin⁡2α2gH = \frac{u^2\sin^2\alpha}{2g}

    HH এর সমীকরণ হতে পাই,
    sin⁡2α=2gHu2\sin^2\alpha = \frac{2gH}{u^2}
    ∴cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−2gHu2=u2−2gHu2\therefore \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{2gH}{u^2} = \frac{u^2 - 2gH}{u^2}

    এখন, R2=4u4sin⁡2αcos⁡2αg2R^2 = \frac{4u^4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{g^2}
    মান বসিয়ে পাই,
    R2=4u4g2⋅(2gHu2)⋅(u2−2gHu2)R^2 = \frac{4u^4}{g^2} \cdot \left(\frac{2gH}{u^2}\right) \cdot \left(\frac{u^2 - 2gH}{u^2}\right)
    R2=8Hg(u2−2gH)R^2 = \frac{8H}{g} (u^2 - 2gH)
    gR2=8H(u2−2gH)=8u2H−16gH2g R^2 = 8H(u^2 - 2gH) = 8u^2H - 16gH^2
    ∴16gH2−8u2H+gR2=0\therefore 16gH^2 - 8u^2H + gR^2 = 0 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, টাওয়ারের মোট উচ্চতা hh।
    প্রথম বলটি টাওয়ারের শীর্ষ থেকে অবাধে পড়তে শুরু করে।
    xx দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় t1t_1 হলে,
    x=12gt12  ⟹  t1=2xgx = \frac{1}{2}gt_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2x}{g}}

    টাওয়ারের শীর্ষ হতে ভূমি পর্যন্ত পুরো hh দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রথম বলটির মোট সময় TT হলে,
    h=12gT2  ⟹  T=2hgh = \frac{1}{2}gT^2 \implies T = \sqrt{\frac{2h}{g}}

    প্রথম বলটি xx দূরত্বে পৌঁছানোর সময় শীর্ষবিন্দুর 2x2x নিচে অবস্থিত বিন্দু থেকে দ্বিতীয় বলটি ফেলা হয়।
    দ্বিতীয় বলটির ক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব =h−2x= h - 2x।
    দ্বিতীয় বলটির পতনের সময় t2t_2 হলে,
    h−2x=12gt22  ⟹  t2=2(h−2x)gh - 2x = \frac{1}{2}gt_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2(h-2x)}{g}}

    শর্তানুসারে, উভয় বল একই সাথে ভূমিতে পড়ে। অতএব,
    T−t1=t2T - t_1 = t_2
    2hg−2xg=2(h−2x)g\sqrt{\frac{2h}{g}} - \sqrt{\frac{2x}{g}} = \sqrt{\frac{2(h-2x)}{g}}
    উভয়পক্ষকে 2g\sqrt{\frac{2}{g}} দ্বারা ভাগ করে পাই,
    h−x=h−2x\sqrt{h} - \sqrt{x} = \sqrt{h - 2x}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    h−2hx+x=h−2xh - 2\sqrt{hx} + x = h - 2x
    −2hx=−3x-2\sqrt{hx} = -3x
    2hx=3x2\sqrt{hx} = 3x
    পুনরায় বর্গ করে পাই,
    4hx=9x24hx = 9x^2
    যেহেতু x≠0x \neq 0, তাই উভয়পক্ষকে 4x4x দ্বারা ভাগ করে পাই,
    h=94xh = \frac{9}{4}x (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন