উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: 5x3−4x2+1=05 x^3-4 x^2+1=0 সমীকরণের মূলগুলো α,β\alpha, \beta ও γ\gamma
দৃশ্যকল্প-২ : x3−1=0\mathrm{x}^3-1=0 সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় a\mathrm{a} ও b\mathrm{b}

  1. ক)

    দেখাও যে, sec⁡2(cot⁡−112)+cosec⁡2(tan⁡−113)=15\sec ^2\left(\cot ^{-1} \frac{1}{2}\right)+\operatorname{cosec}^2\left(\tan ^{-1} \frac{1}{3}\right)=15.

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে ∑α2β\sum \alpha^2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, an+bn=2\mathrm{a}^{\mathrm{n}}+\mathrm{b}^{\mathrm{n}}=2 অথবা -1 , যখন n\mathrm{n} এর মান যথাক্রমে 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ
    =sec⁡2(cot⁡−112)+cosec⁡2(tan⁡−113)= \sec^2\left(\cot^{-1}\frac{1}{2}\right) + \operatorname{cosec}^2\left(\tan^{-1}\frac{1}{3}\right)
    =1+tan⁡2(cot⁡−112)+1+cot⁡2(tan⁡−113)= 1 + \tan^2\left(\cot^{-1}\frac{1}{2}\right) + 1 + \cot^2\left(\tan^{-1}\frac{1}{3}\right)
    =2+[tan⁡(tan⁡−12)]2+[cot⁡(cot⁡−13)]2= 2 + \left[\tan\left(\tan^{-1}2\right)\right]^2 + \left[\cot\left(\cot^{-1}3\right)\right]^2
    =2+(2)2+(3)2= 2 + (2)^2 + (3)^2
    =2+4+9=15= 2 + 4 + 9 = 15
    =ডানপক্ষ= \text{ডানপক্ষ}
    (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে, 5x3−4x2+0⋅x+1=05x^3 - 4x^2 + 0\cdot x + 1 = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma।

    মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে:
    α+β+γ=−−45=45\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-4}{5} = \frac{4}{5}
    αβ+βγ+γα=05=0\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{0}{5} = 0
    αβγ=−15\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{5}

    আমরা জানি,
    (α+β+γ)(αβ+βγ+γα)=∑α2β+3αβγ(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = \sum \alpha^2\beta + 3\alpha\beta\gamma
    ⇒∑α2β=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)−3αβγ\Rightarrow \sum \alpha^2\beta = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma

    মান বসিয়ে পাই,
    ∑α2β=(45)(0)−3(−15)\sum \alpha^2\beta = \left(\frac{4}{5}\right)(0) - 3\left(-\frac{1}{5}\right)
    =0+35=35= 0 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}

    অতএব, ∑α2β=35\sum \alpha^2\beta = \frac{3}{5}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, x3−1=0⇒(x−1)(x2+x+1)=0x^3 - 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 + x + 1) = 0।
    যেহেতু aa ও bb হলো জটিল মূলদ্বয়, তাই এরা একের (unity) দুটি জটিল ঘনমূল।
    ধরি, a=ωa = \omega এবং b=ω2b = \omega^2, যেখানে ω3=1\omega^3 = 1 এবং 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0।

    এখন,
    an+bn=ωn+(ω2)n=ωn+ω2na^n + b^n = \omega^n + (\omega^2)^n = \omega^n + \omega^{2n}

    ক্ষেত্র ১: যখন nn, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
    ধরি, n=3mn = 3m, যেখানে mm একটি পূর্ণসংখ্যা।
    তাহলে,
    an+bn=ω3m+ω6m=(ω3)m+(ω3)2m=1m+12m=1+1=2a^n + b^n = \omega^{3m} + \omega^{6m} = (\omega^3)^m + (\omega^3)^{2m} = 1^m + 1^{2m} = 1 + 1 = 2

    ক্ষেত্র ২: যখন nn, ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
    তখন nn কে 3m+13m+1 অথবা 3m+23m+2 আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে mm একটি পূর্ণসংখ্যা।

    যদি n=3m+1n = 3m + 1 হয়:
    an+bn=ω3m+1+ω2(3m+1)=ω3m⋅ω+ω6m⋅ω2=1⋅ω+1⋅ω2=ω+ω2=−1a^n + b^n = \omega^{3m+1} + \omega^{2(3m+1)} = \omega^{3m}\cdot\omega + \omega^{6m}\cdot\omega^2 = 1\cdot\omega + 1\cdot\omega^2 = \omega + \omega^2 = -1

    যদি n=3m+2n = 3m + 2 হয়:
    an+bn=ω3m+2+ω2(3m+2)=ω3m⋅ω2+ω6m+4=ω2+ω=−1a^n + b^n = \omega^{3m+2} + \omega^{2(3m+2)} = \omega^{3m}\cdot\omega^2 + \omega^{6m+4} = \omega^2 + \omega = -1

    অতএব, an+bn=2a^n + b^n = 2 অথবা −1-1, যখন nn এর মান যথাক্রমে ৩ দ্বারা বিভাজ্য অথবা অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন