উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: f(x)=3x2+2x+7 f(x) = 3x^2 + 2x + 7
দৃশ্যকল্প-২: g(x)=54x−(2x−7)3 g(x) = 54x - (2x - 7)^3
- ক)(2)
দেখাও যে, limx→01+2x−1−3xx=52 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - \sqrt{1-3x}}{x} = \frac{5}{2}
- খ)(4)
দৃশ্যকল্প-১ এ y=f(x) y = f(x) বক্ররেখার (2,23) (2, 23) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
- গ)(4)
দৃশ্যকল্প-২ হতে ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
বামপক্ষ = lim_{x -> 0} (sqrt(1+2x) - sqrt(1-3x)) / x = lim_{x -> 0} [(sqrt(1+2x) - sqrt(1-3x))(sqrt(1+2x) + sqrt(1-3x))] / [x(sqrt(1+2x) + sqrt(1-3x))] = lim_{x -> 0} [(1+2x) - (1-3x)] / [x(sqrt(1+2x) + sqrt(1-3x))] = lim_{x -> 0} 5x / [x(sqrt(1+2x) + sqrt(1-3x))] = lim_{x -> 0} 5 / (sqrt(1+2x) + sqrt(1-3x)) [যেহেতু x -> 0, x != 0] = 5 / (sqrt(1+0) + sqrt(1-0)) = 5/2 = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, বক্ররেখার সমীকরণ: y = f(x) = 3x^2 + 2x + 7। x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dy/dx = 6x + 2। (2, 23) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, m = [dy/dx]_{(2, 23)} = 6(2) + 2 = 14। অতএব, (2, 23) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: y - 23 = 14(x - 2) বা, y - 23 = 14x - 28 বা, 14x - y - 5 = 0। এবং (2, 23) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ: y - 23 = -(1/14)(x - 2) বা, 14(y - 23) = -x + 2 বা, 14y - 322 = -x + 2 বা, x + 14y - 324 = 0। নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ 14x - y - 5 = 0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ x + 14y - 324 = 0।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, g(x) = 54x - (2x - 7)^3। অন্তরীকরণ করে পাই, g'(x) = 54 - 6(2x - 7)^2 এবং g''(x) = -24(2x - 7)। চরম মানের জন্য g'(x) = 0 বা, 54 - 6(2x - 7)^2 = 0 বা, (2x - 7)^2 = 9 বা, 2x - 7 = +-3। সুতরাং x = 5 অথবা x = 2। x = 5 বিন্দুতে, g''(5) = -24(10 - 7) = -72 < 0; অতএব x = 5 বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান। গুরুমান = g(5) = 54(5) - (25 - 7)^3 = 270 - 27 = 243। x = 2 বিন্দুতে, g''(2) = -24(4 - 7) = 72 > 0; অতএব x = 2 বিন্দুতে লঘুমান বিদ্যমান। লঘুমান = g(2) = 54(2) - (22 - 7)^3 = 108 - (-27) = 135। অতএব, নির্ণেয় গুরুমান 243 এবং লঘুমান 135।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও