গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২৫-২০২৬

গণিত প্রশ্ন

5.

যদি f:[−1,1]→R,f(0)=0f: [-1,1] \to \mathbb{R}, f(0) = 0 এবং f′(0)=lim⁡n→∞nf(1n)f'(0) = \lim_{n \to \infty} nf\left(\frac{1}{n}\right) হয়, তবে নিচের রাশিটির মান নির্ণয় কর: lim⁡n→∞[2π(n+1)cos⁡−1(1n)−n],0<∣lim⁡n→∞cos⁡−1(1n)∣<π2\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{2}{\pi}(n + 1) \cos^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) - n \right], 0 < \left| \lim_{n \to \infty} \cos^{-1} \left( \frac{1}{n} \right) \right| < \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

আমরা পাই,
lim⁡n→∞[2π(n+1)cos⁡−1(1n)−n]\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{2}{\pi}(n + 1) \cos^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) - n \right]

আমরা জানি, cos⁡−1(x)=π2−sin⁡−1(x)\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)
সুতরাং,
=lim⁡n→∞[2π(n+1)(π2−sin⁡−1(1n))−n]= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{2}{\pi}(n + 1) \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) \right) - n \right]
=lim⁡n→∞[(n+1)−2π(n+1)sin⁡−1(1n)−n]= \lim_{n \to \infty} \left[ (n + 1) - \frac{2}{\pi}(n + 1)\sin^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) - n \right]
=lim⁡n→∞[1−2π⋅n+1n⋅sin⁡−1(1n)1n]= \lim_{n \to \infty} \left[ 1 - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{\sin^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} \right]
=1−2π⋅lim⁡n→∞(1+1n)⋅lim⁡n→∞sin⁡−1(1n)1n= 1 - \frac{2}{\pi} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sin^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}

যেহেতু lim⁡x→0sin⁡−1(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(x)}{x} = 1,
=1−2π⋅(1+0)⋅1=1−2π= 1 - \frac{2}{\pi} \cdot (1 + 0) \cdot 1 = 1 - \frac{2}{\pi} (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন