উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $y = |x - 3|$ এর স্কেচ অঙ্কন:

   ১. ফাংশনটির বিশ্লেষণ:
   পরমমানের সংজ্ঞার্থ অনুসারে:
   $y = |x - 3| = \begin{cases} x - 3, & \text{যখন } x \ge 3 \\ -(x - 3) = 3 - x, & \text{যখন } x < 3 \end{cases}$

   ২. বিন্দুপাতন (মান সারণি):

   $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
   $y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

   ৩. বৈশিষ্ট্য ও স্কেচের বিবরণ:

   • ফাংশনটির শীর্ষবিন্দু (Vertex) হলো $(3, 0)$।
   • এটি $y$-অক্ষকে $(0, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   • $x \ge 3$ সীমার জন্য লেখচিত্রটি $(3, 0)$ বিন্দু থেকে ডানদিকে ঊর্ধ্বমুখী একটি সরলরেখা ($y = x - 3$)।
   • $x < 3$ সীমার জন্য লেখচিত্রটি $(3, 0)$ বিন্দু থেকে বামদিকে ঊর্ধ্বমুখী অপর একটি সরলরেখা ($y = 3 - x$)।
   • সামগ্রিকভাবে লেখচিত্রটি $x = 3$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম এবং এটি $x$-অক্ষের উপরে অবস্থিত একটি 'V' আকৃতির (V-shaped) লেখচিত্র।
2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে:
   $g(x) = (x + 5)^n$ এবং $f(x) = x^2 - 6$

   $n = \frac{1}{2}$ হলে,
   $g(x) = (x + 5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x + 5}$

   সংযোজিত ফাংশন $(g \circ f)(x)$ নির্ণয়:
   $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 6) = \sqrt{(x^2 - 6) + 5} = \sqrt{x^2 - 1}$

   ডোমেন নির্ণয়:
   $(g \circ f)(x)$ সংজ্ঞায়িত ও বাস্তব হবে যদি এবং কেবল যদি বর্গমূলের অভ্যন্তরীণ রাশিটি অঋণাত্মক হয়।
   অর্থাৎ,
   $x^2 - 1 \ge 0$
   $\implies (x + 1)(x - 1) \ge 0$
   $\implies x \le -1 \text{ অথবা } x \ge 1$

   অতএব, নির্ণেয় ডোমেন:
   $\text{Dom}(g \circ f) = \{x \in \mathbb{R} : x \le -1 \text{ অথবা } x \ge 1\}$
   ব্যবধি আকারে:
   $\text{Dom}(g \circ f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \text{ বা } \mathbb{R} \setminus (-1, 1)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   "TESTICLE" শব্দটিতে মোট বর্ণের সংখ্যা = ৮টি।

   বর্ণগুলোর মধ্যে:

   • T আছে ২টি
   • E আছে ২টি
   • S আছে ১টি
   • I আছে ১টি
   • C আছে ১টি
   • L আছে ১টি

   বর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে মোট সাজানো যায়:
   $\text{মোট বিন্যাস সংখ্যা} = \frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{2 \times 2} = 10080$

   প্রথমে ও শেষে E রেখে বিন্যাস সংখ্যা:
   শব্দটির প্রথম স্থানে একটি E এবং শেষ স্থানে অপর একটি E স্থির রাখলে, মাঝে বাকি থাকে $(8 - 2) = 6$টি স্থান এবং সাজানোর জন্য বর্ণ বাকি থাকে ৬টি (T ২টি, S ১টি, I ১টি, C ১টি, L ১টি)।

   এদেরকে সাজানোর উপায়:
   $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$

   প্রথমে ও শেষে E থাকবে না এরূপ বিন্যাস সংখ্যা:
   $\text{নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা} = \text{মোট বিন্যাস সংখ্যা} - \text{প্রথমে ও শেষে E থাকা বিন্যাস সংখ্যা}$
   $= 10080 - 360 = 9720$

   *(বিকল্প ব্যাখ্যা: যদি প্রশ্নটির অর্থ হয় "প্রথম বা শেষ কোনো প্রান্তেই E থাকবে না", তবে অন্তর্ভুক্ত-বর্জন নীতি অনুসারে:

   • প্রথমে E থাকা বিন্যাস সংখ্যা = $\frac{7!}{2!} = 2520$
   • শেষে E থাকা বিন্যাস সংখ্যা = $\frac{7!}{2!} = 2520$
   • প্রথমে ও শেষে উভয় স্থানে E থাকা বিন্যাস संख्या = $360$
     অতএব, কোনো প্রান্তেই E না রেখে বিন্যাস সংখ্যা $= 10080 - (2520 + 2520 - 360) = 10080 - 4680 = 5400$)*