পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

(4) ব্যবকলনীয় সমীকরণ: সরল দোলগতিতে বস্তুর উপর প্রত্যয়নী বল সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী: $F = -kx$। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র $F = m\frac{d^2x}{dt^2}$ থেকে
$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0, \qquad \omega^2 = \frac{k}{m}$
এটিই সরল দোলগতির ব্যবকলনীয় সমীকরণ।

সমাধান যাচাই: ধরি $x = A\sin(\omega t + \varphi)$।
প্রথম অন্তরক: $\frac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi)$।
দ্বিতীয় অন্তরক: $\frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$।
অতএব $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ সিদ্ধ হয়।

সুতরাং $x = A\sin(\omega t + \varphi)$ উক্ত সমীকরণের একটি সমাধান। (এখানে $A$ বিস্তার এবং $\varphi$ আদি দশা।) প্রমাণিত।