$x0$ এর জন্য $1+2 \frac{x}{1+x}+3\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2}+4\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3}+\cdots=$ ?

Question

$x>0$ এর জন্য $1+2 \frac{x}{1+x}+3\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2}+4\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3}+\cdots=$ ?

Accepted Answer

ঘ. $(1+x)^{2}$

ব্যাখ্যা: ধারাটি $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) r^n$, যেখানে $r = \frac{x}{1+x}$ এবং $0 < r < 1$। এই ধারার যোগফল $\frac{1}{(1-r)^2}$ (কারণ $(1-r)^{-2}$ এর বিস্তৃতিতে $(n+1)r^n$)। এখানে $1 - r = \frac{1}{1+x}$, তাই যোগফল $(1+x)^2$।

**শর্টকাট:** $1 + 2r + 3r^2 + \cdots = (1-r)^{-2}$ সূত্র মুখস্থ থাকলে মাত্র এক ধাপ।

**মনে রাখার কৌশল:** $(1-r)^{-2}$ → সহগ 1, 2, 3, 4…।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $1 + 2\cdot\frac{1}{3} + 3\cdot\frac{1}{9} + \cdots = ?$
*উত্তর:* $\frac{9}{4}$

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন