পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে গাণিতিক চিহ্নের নিজস্ব কোনো মান নেই, কিন্তু কোনো ভেক্টর রাশির ওপর ক্রিয়া করে নতুন রাশি উৎপন্ন বা রূপান্তরিত করতে পারে, তাকে ভেক্টর অপারেটর বলে (যেমন: ডেল অপারেটর ∇)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেড বা পাখাগুলো কিছুটা বাঁকানো বা হেলানো থাকে। পাখাটি যখন ঘোরে, তখন এর ব্লেডগুলো তির্যকভাবে বাতাসের ওপর একটি বল প্রয়োগ করে। নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে বাতাসও ব্লেডের ওপর সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া বল প্রয়োগ করে। এই প্রতিক্রিয়া বলকে ভেক্টর বিভাজনের নিয়মে দুটি লম্ব উপাংশে ভাগ করা যায়: একটি অনুভূমিক উপাংশ এবং অপরটি উল্লম্ব নিম্নমুখী উপাংশ। অনুভূমিক উপাংশটি ভারসাম্য তৈরি করে বা ঘূর্ণনে প্রভাব ফেলে এবং উল্লম্ব নিম্নমুখী উপাংশটি বাতাসের প্রবাহকে সরাসরি নিচের দিকে আমাদের গায়ের দিকে ঠেলে দেয়। ফলে আমরা বাতাস অনুভব করি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক ও চিত্রানুযায়ী,
   OQ ও OR ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হলো α।

   Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
   $\vec{OQ} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

   R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
   $\vec{OR} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   $|\vec{OQ}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
   $|\vec{OR}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

   ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন:
   $\vec{OQ} \cdot \vec{OR} = (2)(1) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5$

   আমরা জানি,
   $\vec{OQ} \cdot \vec{OR} = |\vec{OQ}| |\vec{OR}| \cos\alpha$
   $\Rightarrow 5 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cos\alpha$
   $\Rightarrow 5 = 6 \cos\alpha$
   $\Rightarrow \cos\alpha = \frac{5}{6}$
   $\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56^\circ$

   অতএব, α কোণের মান প্রায় 33.56°।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে P(1, 2, 1), Q(2, 1, 1) এবং R(1, 1, 2)।

   △PQR এর বাহুগুলোর ভেক্টর ও তাদের মান নির্ণয় করি:

   ১. $\vec{PQ} = (2 - 1)\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (1 - 1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$
   $PQ^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2$

   ২. $\vec{QR} = (1 - 2)\hat{i} + (1 - 1)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
   $QR^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$

   ৩. $\vec{PR} = (1 - 1)\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
   $PR^2 = 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 + 1 = 2$

   এখানে ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য:
   $PQ = \sqrt{2}, \quad QR = \sqrt{2}, \quad PR = \sqrt{2}$

   যেহেতু $PQ = QR = PR = \sqrt{2}$, তাই ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান $60^\circ$।

   এছাড়াও, বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক পর্যালোচনা করলে দেখা যায়:
   যেকোনো দুটি বাহুর বর্গের যোগফল ($2 + 2 = 4$) তৃতীয় বাহুর বর্গের ($2$) সমান নয়। অর্থাৎ এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ($a^2 + b^2 = c^2$) মেনে চলে না।

   অতএব, উদ্দীপকের △PQR সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না (বরং এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ)।