উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - kx + (k + 3) = 0$
   মূলদ্বয় জটিল (অবাস্তব) হলে সমীকরণের পৃথায়ক $D < 0$ হবে।
   $D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 3) = k^2 - 4k - 12$
   শর্তানুসারে,
   $k^2 - 4k - 12 < 0$
   $\Rightarrow (k - 6)(k + 2) < 0$
   $\Rightarrow -2 < k < 6$

   অতএব, $k$ এর মান $-2 < k < 6$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া সমীকরণ: $x^2 + bx + c = 0$ ...(i)
   যেহেতু সহগগুলো বাস্তব ও মূল অমূলদ, তাই অপর মূলটি হবে $\alpha - \sqrt{\beta}$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল: $(\alpha + \sqrt{\beta}) + (\alpha - \sqrt{\beta}) = -b \Rightarrow 2\alpha = -b \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{2}$
   মূলদ্বয়ের গুণফল: $(\alpha + \sqrt{\beta})(\alpha - \sqrt{\beta}) = c \Rightarrow \alpha^2 - \beta = c \Rightarrow \beta = \alpha^2 - c = \frac{b^2}{4} - c = \frac{b^2 - 4c}{4}$

   এখন, নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়:
   $y_1 = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\sqrt{\beta}}$ এবং $y_2 = \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\sqrt{\beta}}$
   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $S = y_1 + y_2 = \frac{2}{\alpha} = \frac{2}{-b/2} = -\frac{4}{b}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $P = y_1 y_2 = \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta} = \frac{\beta - \alpha^2}{\alpha^2 \beta} = \frac{-c}{\left(\frac{b^2}{4}\right)\left(\frac{b^2 - 4c}{4}\right)} = \frac{-16c}{b^2(b^2 - 4c)}$

   সুতরাং নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:
   $y^2 - Sy + P = 0$
   $\Rightarrow y^2 - \left(-\frac{4}{b}\right)y + \left(-\frac{16c}{b^2(b^2 - 4c)}\right) = 0$
   $\Rightarrow y^2 + \frac{4}{b}y - \frac{16c}{b^2(b^2 - 4c)} = 0$
   $\Rightarrow b^2(b^2 - 4c)y^2 + 4b(b^2 - 4c)y - 16c = 0$
   $\Rightarrow (b^2 - 4c)(b^2 y^2 + 4by) - 16c = 0$

   চলক $y$ এর স্থলে $x$ বসালে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $(b^2 - 4c)(b^2x^2 + 4bx) - 16c = 0$
   অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$ হবে। (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি $\alpha$।
   তাহলে,
   $\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ ...(1)
   $c\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0$ ...(2)

   (1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই:
   $(1 - c)\alpha^2 + (c - 1) = 0$
   $\Rightarrow (1 - c)\alpha^2 = 1 - c$
   যদি $c \neq 1$ হয়, তবে $\alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$

   বিকল্পভাবে, বজরগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{\alpha^2}{b \cdot 1 - b \cdot c} = \frac{\alpha}{c \cdot c - 1 \cdot 1} = \frac{1}{1 \cdot b - b \cdot c}$
   $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{b(1 - c)} = \frac{\alpha}{c^2 - 1} = \frac{1}{b(1 - c)}$

   প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে:
   $\alpha^2 = \frac{b(1 - c)}{b(1 - c)} = 1$

   প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত হতে:
   $\alpha = \frac{b(1 - c)}{c^2 - 1} = \frac{-b(c - 1)}{(c - 1)(c + 1)} = -\frac{b}{c + 1}$

   যেহেতু $\alpha^2 = 1$:
   $\left(-\frac{b}{c + 1}\right)^2 = 1$
   $\Rightarrow \frac{b^2}{(c + 1)^2} = 1$
   $\Rightarrow (c + 1)^2 = b^2$ (প্রমাণিত)।