উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১ : q = 729
দৃশ্যকল্প-২: ax3+3bx2+3cx+d=0\mathrm{ax}^{3}+3 \mathrm{bx}^{2}+3 \mathrm{cx}+\mathrm{d}=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma.
- ক)(1)
3+4i3+4 \mathrm{i} কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।
- খ)(2)
দেখাও যে, Σ(α−β)2=18(b2−ac)a2\Sigma(\alpha-\beta)^{2}=\frac{18\left(b^{2}-a c\right)}{a^{2}}.
- গ)(3)
−q6\sqrt[6]{-q} এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
ধরি, z = 3 + 4i।
মডুলাস r = √(3² + 4²) = 5
আর্গুমেন্ট θ = tan⁻¹(4/3)
সুতরাং, পোলার আকার: 5(cos θ + i sin θ), যেখানে θ = tan⁻¹(4/3) [বা 5{cos(tan⁻¹(4/3)) + i sin(tan⁻¹(4/3))}] - খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
ax³ + 3bx² + 3cx + d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হওয়ায়:
α + β + γ = -3b/a এবং αβ + βγ + γα = 3c/aΣ(α - β)² = (α - β)² + (β - γ)² + (γ - α)²
= 2(α² + β² + γ²) - 2(αβ + βγ + γα)
= 2{(α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)} - 2(αβ + βγ + γα)
= 2(α + β + γ)² - 6(αβ + βγ + γα)
= 2(-3b/a)² - 6(3c/a)
= (18b²/a²) - (18c/a)
= 18(b² - ac)/a² (দেখানো হলো) - গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
q = 729 হলে, ⁶√(-q) = ⁶√(-729)
ধরি, x = (-729)^(1/6) ⇒ x⁶ = 3⁶(-1)
বা, x⁶ = 3⁶[cos(2kπ + π) + i sin(2kπ + π)], k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
⇒ x = 3[cos((2k + 1)π/6) + i sin((2k + 1)π/6)]
k-এর মান 0 থেকে 5 পর্যন্ত বসিয়ে মূলগুলো পাওয়া যায়:
± 3i এবং ± (3/2)(√3 ± i)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও