উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = 1$
   এখানে, $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ($a > b$)
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
   একটি উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামক রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $= \left|\frac{a}{e} - ae\right| = \frac{1/2}{1/\sqrt{5}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শীর্ষ $(1, 2)$ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x - 1 = a(y - 2)^2$
   যেহেতু পরাবৃত্তটি $(3, -2)$ বিন্দুগামী:
   $3 - 1 = a(-2 - 2)^2 \implies 2 = 16a \implies a = \frac{1}{8}$
   সুতরাং,
   $x - 1 = \frac{1}{8}(y^2 - 4y + 4)$
   $\implies x = \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}$
   প্রদত্ত সমীকরণ $x = ay^2 + by + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $a = \frac{1}{8}, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{3}{2}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণে $a = 9, b = 16, c = 199$ বসিয়ে পাই:
   $9x^2 - 16y^2 - 18x - 64y - 199 = 0$
   $\implies 9(x - 1)^2 - 16(y + 2)^2 = 144$
   $\implies \frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1$ (আদর্শ আকার)
   এখানে, $A = 4, B = 3$।
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$
   ১. উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: $(1 \pm 4 \cdot \frac{5}{4}, -2) = (1 \pm 5, -2)$, অর্থাৎ $(6, -2)$ এবং $(-4, -2)$।
   ২. উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব: $2Ae = 2 \times 5 = 10$ একক।
   ৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2B^2}{A} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2}$ একক।