উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: A=[12−138249−1],X=[xyz]B=[−12814]A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \ 3 & 8 & 2 \ 4 & 9 & -1\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \ y \ z\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{c}-1 \ 28 \ 14\end{array}\right]
দৃশ্যকল্প-২: P=[3−12−2],Q=[2−12−3]P=\left[\begin{array}{ll}3 & -1 \ 2 & -2\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}2 & -1 \ 2 & -3\end{array}\right]

  1. ক)

    P−QP-Q ম্যাট্রিক্সটির নাম কি ?

    (1)
  2. খ)

    AX=B\mathbf{A X}=\mathbf{B} সমীকরণজোট ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

    (2)
  3. গ)

    বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাইপূর্বক A−1\mathbf{A}^{-1} নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=[3−12−2]P = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} এবং Q=[2−12−3]Q = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}

    P−Q=[3−2−1−(−1)2−2−2−(−3)]=[1001]=I2P - Q = \begin{bmatrix} 3 - 2 & -1 - (-1) \\ 2 - 2 & -2 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2

    সুতরাং, P−QP - Q ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স বা একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ জোট AX=BAX = B:
    [12−138249−1][xyz]=[−12814]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 28 \\ 14 \end{bmatrix}

    চলকগুলোর সহগ নির্ণায়ক,
    D=∣12−138249−1∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{vmatrix}
    =1(−8−18)−2(−3−8)−1(27−32)= 1(-8 - 18) - 2(-3 - 8) - 1(27 - 32)
    =1(−26)−2(−11)−1(−5)= 1(-26) - 2(-11) - 1(-5)
    =−26+22+5=1≠0= -26 + 22 + 5 = 1 \neq 0

    এখন,
    Dx=∣−12−12882149−1∣D_x = \begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 28 & 8 & 2 \\ 14 & 9 & -1 \end{vmatrix}
    =−1(−8−18)−2(−28−28)−1(252−112)= -1(-8 - 18) - 2(-28 - 28) - 1(252 - 112)
    =−1(−26)−2(−56)−1(140)= -1(-26) - 2(-56) - 1(140)
    =26+112−140=−2= 26 + 112 - 140 = -2

    Dy=∣1−1−13282414−1∣D_y = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 3 & 28 & 2 \\ 4 & 14 & -1 \end{vmatrix}
    =1(−28−28)−(−1)(−3−8)−1(42−112)= 1(-28 - 28) - (-1)(-3 - 8) - 1(42 - 112)
    =1(−56)+1(−11)−1(−70)= 1(-56) + 1(-11) - 1(-70)
    =−56−11+70=3= -56 - 11 + 70 = 3

    Dz=∣12−138284914∣D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 28 \\ 4 & 9 & 14 \end{vmatrix}
    =1(112−252)−2(42−112)−1(27−32)= 1(112 - 252) - 2(42 - 112) - 1(27 - 32)
    =1(−140)−2(−70)−1(−5)= 1(-140) - 2(-70) - 1(-5)
    =−140+140+5=5= -140 + 140 + 5 = 5

    ক্রেমারের নিয়মানুযায়ী:
    x=DxD=−21=−2x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{1} = -2
    y=DyD=31=3y = \frac{D_y}{D} = \frac{3}{1} = 3
    z=DzD=51=5z = \frac{D_z}{D} = \frac{5}{1} = 5

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(−2,3,5)(x, y, z) = (-2, 3, 5)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[12−138249−1]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{bmatrix}

    বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই:
    ∣A∣=∣12−138249−1∣|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 2 \\ 4 & 9 & -1 \end{vmatrix}
    =1(−8−18)−2(−3−8)−1(27−32)= 1(-8 - 18) - 2(-3 - 8) - 1(27 - 32)
    =−26+22+5=1= -26 + 22 + 5 = 1
    যেহেতু ∣A∣=1≠0|A| = 1 \neq 0, সুতরাং AA একটি ব্যতিক্রमी নয় এমন (Non-singular) ম্যাট্রিক্স। অতএব, AA বিপরীতকরণযোগ্য এবং A−1A^{-1} এর অস্তিত্ব আছে।

    A−1A^{-1} নির্ণয়:
    AA ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ:
    A11=+∣829−1∣=−8−18=−26A_{11} = +\begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 9 & -1 \end{vmatrix} = -8 - 18 = -26
    A12=−∣324−1∣=−(−3−8)=11A_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 8) = 11
    A13=+∣3849∣=27−32=−5A_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} = 27 - 32 = -5

    A21=−∣2−19−1∣=−(−2+9)=−7A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 9 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 + 9) = -7
    A22=+∣1−14−1∣=−1+4=3A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 4 = 3
    A23=−∣1249∣=−(9−8)=−1A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} = -(9 - 8) = -1

    A31=+∣2−182∣=4+8=12A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 8 = 12
    A32=−∣1−132∣=−(2+3)=−5A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 + 3) = -5
    A33=+∣1238∣=8−6=2A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = 8 - 6 = 2

    অতএব, AA এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স:
    adj(A)=[A11A12A13A21A22A23A31A32A33]T=[−2611−5−73−112−52]T=[−26−712113−5−5−12]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -26 & 11 & -5 \\ -7 & 3 & -1 \\ 12 & -5 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -26 & -7 & 12 \\ 11 & 3 & -5 \\ -5 & -1 & 2 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj(A)=11[−26−712113−5−5−12]=[−26−712113−5−5−12]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -26 & -7 & 12 \\ 11 & 3 & -5 \\ -5 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -26 & -7 & 12 \\ 11 & 3 & -5 \\ -5 & -1 & 2 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন