উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ অনুসারে 'গা' অংশের অসমাপ্ত প্রশ্নটি ছিল: "A ও C কোনো উপবৃত্তের শীর্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা \frac{\sqrt{3}}{2} হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।"

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $4x^2 + 5y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{5}} = 1$

   এখানে, $a^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ এবং $b^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{5}}$
   যেহেতু $a > b$, সুতরাং উপবৃত্তটির প্রধান অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/5}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

   একটি উপকেন্দ্র $(ae, 0)$ এবং অনুরূপ নিয়ামক রেখার সমীকরণ $x = \frac{a}{e}$।
   অতএব, একটি উপকেন্দ্র ও এর অনুরূপ নিয়ামক রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব:
   $d = \left| \frac{a}{e} - ae \right| = a \left( \frac{1}{e} - e \right)$
   $= \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ একক।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ অনুসারে 'গা' অংশের অসমাপ্ত প্রশ্নটি ছিল: "A ও C কোনো উপবৃত্তের শীর্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা \frac{\sqrt{3}}{2} হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।"

   দেওয়া আছে পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y = ax^2 + bx + c$
   পরাবৃত্তটির অক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল।
   শীর্ষবিন্দু $A(1, -3)$ হওয়ায় পরাবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ হবে:
   $(x - h)^2 = 4p(y - k)$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 = 4p(y - (-3))$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 = 4p(y + 3)$ ..... (i)

   পরাবৃত্তটি $B(0, 7)$ বিন্দুগামী, সুতরাং:
   $(0 - 1)^2 = 4p(7 + 3)$
   $\Rightarrow 1 = 4p(10) \Rightarrow 4p = \frac{1}{10}$

   $4p$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $(x - 1)^2 = \frac{1}{10}(y + 3)$
   $\Rightarrow 10(x^2 - 2x + 1) = y + 3$
   $\Rightarrow 10x^2 - 20x + 10 = y + 3$
   $\Rightarrow y = 10x^2 - 20x + 7$

   প্রদত্ত সমীকরণ $y = ax^2 + bx + c$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $a = 10$, $b = -20$, $c = 7$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ অনুসারে 'গা' অংশের অসমাপ্ত প্রশ্নটি ছিল: "A ও C কোনো উপবৃত্তের শীর্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা \frac{\sqrt{3}}{2} হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।"

   ধরি, উপবৃত্তটির শীর্ষদ্বয় $A(1, -3)$ এবং $C(1, 1)$।
   শীর্ষদ্বয়ের মধ্যবিন্দুই উপবৃত্তটির কেন্দ্র $(h, k)$:
   $h = \frac{1 + 1}{2} = 1$
   $k = \frac{-3 + 1}{2} = -1$
   সুতরাং উপবৃত্তের কেন্দ্র $(1, -1)$।

   যেহেতু শীর্ষ দুটির ভুজ সমান ($x = 1$), উপবৃত্তটির বৃহদাক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল।
   বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য, $2b = \text{AC} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{0 + 4^2} = 4$
   $\Rightarrow b = 2$

   দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
   যেহেতু বৃহদাক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল ($b > a$):
   $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$
   $\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{a^2}{2^2}$
   $\Rightarrow \frac{3}{4} = 1 - \frac{a^2}{4}$
   $\Rightarrow \frac{a^2}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
   $\Rightarrow a^2 = 1$

   অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$
   $\Rightarrow \frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
   $\Rightarrow 4(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 4$
   $\Rightarrow 4x^2 - 8x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 4$
   $\Rightarrow 4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$।