প্রশ্ন ও সমাধান

(1)
প্রদত্ত সমীকরণটি $|z+1|=z+2(1+i)$ ধরা হলো। ধরি $z=x+iy$।
ডানপক্ষ $=x+iy+2+2i=(x+2)+i(y+2)$।
বামপক্ষ $|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$ একটি বাস্তব সংখ্যা, তাই ডানপক্ষের কাল্পনিক অংশ শূন্য হতে হবে:
$y+2=0\Rightarrow y=-2$।

এখন বাস্তব অংশ সমান করে: $\sqrt{(x+1)^2+4}=x+2$ (এখানে $x+2\ge0$ হতে হবে)।
বর্গ করে: $(x+1)^2+4=(x+2)^2$
$\Rightarrow x^2+2x+1+4=x^2+4x+4$
$\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\dfrac12$।

যাচাই: $x+2=\dfrac52>0$ এবং $\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+4}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac52$ ✓।

নির্ণেয় মান: $z=\dfrac12-2i$।