উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $z = i$
   $\therefore \bar{z} = -i$

   $\bar{z}$-এর বর্গমূল:
   $\sqrt{\bar{z}} = \sqrt{-i} = \sqrt{\frac{1}{2}(-2i)} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - 2i - 1}$
   $= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - 2i + i^2}$
   $= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1 - i)^2}$
   $= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - i)$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ হতে পাই, $z = -1 + i$

   (i) মডুলাস:
   $|z| = r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

   (ii) আর্গুমেন্ট:
   $z = -1 + i$ বিন্দুটি আর্গন্ড চিত্রে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
   সুতরাং, মুখ্য আর্গুমেন্ট, $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{1}{-1}\right| = \pi - \tan^{-1}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

   (iii) আর্গন্ড চিত্র:
   বাস্তব অক্ষ (Real Axis) বরাবর ঋণাত্মক দিকে $1$ একক এবং কাল্পনিক অক্ষ (Imaginary Axis) বরাবর ধনাত্মক দিকে $1$ একক নিয়ে $P(-1, 1)$ বিন্দুটি চিহ্নিত করি। মূলবিন্দু $O(0,0)$ ও $P$ যোগ করি।
   তাহলে, $OP = |z| = \sqrt{2}$ এবং ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে $OP$-এর উৎপন্ন কোণ $\theta = \frac{3\pi}{4}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে, $z = x + iy$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $|z + 2| = 5$
   $\implies |x + iy + 2| = 5$
   $\implies |(x + 2) + iy| = 5$
   $\implies \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 5$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
   $(x + 2)^2 + y^2 = 5^2$
   $\implies (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

   এটি একটি বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ নির্দেশ করে।

   অতএব,
   বৃত্তের কেন্দ্র $(h, k) = (-2, 0)$
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 5$ একক।