গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কে কেন্দ্র করে $5$ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।
   ২. বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P$ নিই এবং $O,P$ যোগ করে $OP$ আঁকি।
   ৩. $P$ বিন্দুতে $OP$ এর উপর লম্ব $PT$ আঁকি।

   $OP$ ব্যাসার্ধ এবং $PT\perp OP$, তাই $PT$ বৃত্তের $P$ বিন্দুতে স্পর্শক।

2. খ)

   $MNPQ$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ; $M$ ও $P$ বিপরীত শীর্ষ, কেন্দ্র $C$। প্রমাণ করতে হবে $\angle NPQ+\angle NMQ=180^\circ$।

   অঙ্কন: $C,N$ ও $C,Q$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $NQ$ চাপের (যে চাপে $M$ নেই, অর্থাৎ $NPQ$ চাপ) উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $x$ হলে বৃত্তস্থ কোণ $\angle NMQ=\dfrac x2$।

   $NMQ$ চাপের (যে চাপে $P$ নেই) উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $360^\circ-x$ হলে বৃত্তস্থ কোণ $\angle NPQ=\dfrac{360^\circ-x}2$।

   যোগ করে, $\angle NPQ+\angle NMQ=\dfrac{360^\circ-x}2+\dfrac x2=180^\circ$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   চিত্রে $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MNPQ$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ এবং কর্ণদ্বয় $NQ$ ও $MP$ পরস্পর $R$ বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করেছে, অর্থাৎ $\angle MRQ=90^\circ$।

   $NM$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle NCM$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle NQM$, তাই $\angle NCM=2\angle NQM$ ...(i)

   $PQ$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle PCQ$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle PMQ$, তাই $\angle PCQ=2\angle PMQ$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle NCM+\angle PCQ=2(\angle NQM+\angle PMQ)$ ...(iii)

   $R$ বিন্দু $QN$ ও $MP$ এর উপর থাকায় $\angle NQM=\angle RQM$ এবং $\angle PMQ=\angle RMQ$।

   সমকোণী $\triangle MRQ$ এ $\angle RQM+\angle RMQ=90^\circ$ ...(iv)

   (iii) ও (iv) থেকে, $\angle NCM+\angle PCQ=2\times90^\circ=180^\circ=$ দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)