পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
মঙ্গলের ভর, $M = 6.4 \times 10^{23}\text{ kg}$
মঙ্গলের ব্যাসার্ধ, $R = 3395\text{ km} = 3.395 \times 10^6\text{ m}$
উৎক্ষেপণ বেগ, $v = 2\text{ km/s} = 2000\text{ m/s}$
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}$

রকেটের ভর $m$ হলে,
রকেটের প্রাথমিক গতিশক্তি, $E_k = \frac{1}{2}mv^2$
বায়ুমণ্ডলের বাধার কারণে প্রাথমিক গতিশক্তির $20\%$ অপচয় হওয়ায় অবশিষ্ট শক্তি:
$E_k' = 0.80 \times E_k = 0.80 \times \frac{1}{2}mv^2 = 0.4 mv^2$

সর্বোচ্চ উচ্চতা $h$ হলে, মহাকর্ষীয় বিভব শক্তির বৃদ্ধি অবশিষ্ট গতিশক্তির সমান হবে:
$\Delta U = E_k'$
$\implies -\frac{GMm}{R+h} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = 0.4 mv^2$
$\implies GM \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right) = 0.4 v^2$
$\implies \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} = \frac{0.4 v^2}{GM}$

এখানে,
$\frac{0.4 v^2}{GM} = \frac{0.4 \times (2000)^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (6.4 \times 10^{23})} = \frac{1.6 \times 10^6}{4.2688 \times 10^{13}} \approx 3.748 \times 10^{-8}\text{ m}^{-1}$

এবং,
$\frac{1}{R} = \frac{1}{3.395 \times 10^6} \approx 2.9455 \times 10^{-7}\text{ m}^{-1}$

অতএব,
$\frac{1}{R+h} = 2.9455 \times 10^{-7} - 3.748 \times 10^{-8} = 2.5707 \times 10^{-7}\text{ m}^{-1}$
$\implies R + h = \frac{1}{2.5707 \times 10^{-7}} \approx 3.8899 \times 10^6\text{ m}$
$\implies h = 3.8899 \times 10^6 - 3.395 \times 10^6 = 4.949 \times 10^5\text{ m} \approx 495\text{ km}$

(উল্লেখ্য: যদি মোট যান্ত্রিক শক্তির $20\%$ হ্রাস ধরা হয়, তবে $E_f = 0.8 E_i$ সমীকরণ ব্যবহার করে সর্বোচ্চ উচ্চতা $h$ নির্ণয় করা যায়)।