উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (5, -5)$ এবং পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$।
   আমরা জানি,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

   যেহেতু বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত ($x > 0, y < 0$):
   $\theta = -\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\tan^{-1}\left|\frac{-5}{5}\right| = -\tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4}$ বা $-\,45^\circ$
   (বা ধনাত্মক কোণ হিসেবে, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ বা $315^\circ$)

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক: $\left(5\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4}\right)$ বা $\left(5\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $4x - 4y + 6 = 0$ বা $2x - 2y + 3 = 0$ ... (i)
   $x + 7y - 3 = 0$ ... (ii)

   এখানে,
   $a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = 3$
   $a_2 = 1, b_2 = 7, c_2 = -3$

   এখন,
   $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (2)(1) + (-2)(7) = 2 - 14 = -12 < 0$

   যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 < 0$, তাই '+' (ধনাত্মক) চিহ্ন নিয়ে সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ পাওয়া যাবে।

   সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\frac{2x - 2y + 3}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{x + 7y - 3}{\sqrt{1^2 + 7^2}}$
   $\implies \frac{2x - 2y + 3}{\sqrt{8}} = \pm \frac{x + 7y - 3}{\sqrt{50}}$
   $\implies \frac{2x - 2y + 3}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{x + 7y - 3}{5\sqrt{2}}$
   $\implies 5(2x - 2y + 3) = \pm 2(x + 7y - 3)$

   সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডকের জন্য ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $5(2x - 2y + 3) = 2(x + 7y - 3)$
   $\implies 10x - 10y + 15 = 2x + 14y - 6$
   $\implies 8x - 24y + 21 = 0$

   নির্ণেয় সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ: $8x - 24y + 21 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $A(2, 5)$, $B(3, 1)$ এবং $C(8, 4)$।
   ধরি, $AD \perp BC$ এবং $BE \perp AC$। এদের ছেদবিন্দুই হলো লম্বকেন্দ্র $H(x, y)$।

   $BC$ রেখার ঢাল, $m_{BC} = \frac{4 - 1}{8 - 3} = \frac{3}{5}$
   যেহেতু $AD \perp BC$, সুতরাং $AD$ রেখার ঢাল, $m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{5}{3}$

   অতএব, $A(2, 5)$ বিন্দুগামী $AD$ রেখার সমীকরণ:
   $y - 5 = -\frac{5}{3}(x - 2)$
   $\implies 3y - 15 = -5x + 10$
   $\implies 5x + 3y = 25$ ... (i)

   আবার, $AC$ রেখার ঢাল, $m_{AC} = \frac{4 - 5}{8 - 2} = -\frac{1}{6}$
   যেহেতু $BE \perp AC$, সুতরাং $BE$ রেখার ঢাল, $m_{BE} = -\frac{1}{m_{AC}} = 6$

   অতএব, $B(3, 1)$ বিন্দুগামী $BE$ রেখার সমীকরণ:
   $y - 1 = 6(x - 3)$
   $\implies y - 1 = 6x - 18$
   $\implies 6x - y = 17$ ... (ii)

   এখন, (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (i) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই:
   $(5x + 3y) + 3(6x - y) = 25 + 3(17)$
   $\implies 5x + 3y + 18x - 3y = 25 + 51$
   $\implies 23x = 76$
   $\implies x = \frac{76}{23}$

   $x$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $6\left(\frac{76}{23}\right) - y = 17$
   $\implies y = \frac{456}{23} - 17 = \frac{456 - 391}{23} = \frac{65}{23}$

   অতএব, $ABC$ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র $H(x, y) = \left(\frac{76}{23}, \frac{65}{23}\right)$।