গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সূত্র: $1^3+2^3+\dots+n^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2$

   $n=10$ হলে, মান $=\left(\dfrac{10\times11}2\right)^2=55^2=3025$

   উত্তর: $3025$

2. খ)

   ধরি, ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$। শর্তমতে, $x=10$ ও $y=16$ হলে ১০ম পদ $=16$ এবং ১৬তম পদ $=10$।

   $a+9d=16$ ......(১)

   $a+15d=10$ ......(২)

   (২) − (১) করে, $6d=-6$, অতএব $d=-1$।

   (১) থেকে, $a=16+9=25$।

   ১ম ২৬টি পদের সমষ্টি, $S_{26}=\dfrac{26}2\{2\times25+(26-1)\times(-1)\}=13\times(50-25)=13\times25=325$

   উত্তর: $325$

3. গ)

   ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   ২য় পদ $ar=-1$ ......(১) এবং ৪র্থ পদ $ar^3=-1$ ......(২)

   (২) ÷ (১): $r^2=1$, অতএব $r=\pm1$। $r<1$ হওয়ায় $r=-1$।

   (১) থেকে, $a\times(-1)=-1$, অতএব $a=1$।

   ধারাটি: $1-1+1-1+\cdots$

   $(2n-1)$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $=\dfrac{a(1-r^{2n-1})}{1-r}=\dfrac{1\{1-(-1)^{2n-1}\}}{1-(-1)}=\dfrac{1-(-1)}2=1$

   ($2n-1$ বিজোড় সংখ্যা, তাই $(-1)^{2n-1}=-1$)

   উত্তর: ধারাটি $1-1+1-1+\cdots$ এবং $(2n-1)$ পদের সমষ্টি $=1$