গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০২২-২০২৩

গণিত প্রশ্ন

10.

যদি y=(x+1+x2)20 \mathrm{y}=\left(\mathrm{x}+\sqrt{1+\mathrm{x}^{2}}\right)^{20} হলে, d2ydx2∣x=0 \frac{\mathrm{d}^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}} \mid \mathrm{x}=0 ? এর মান নির্ণয়

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
y=(x+1+x2)20y = \left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{20}

xx-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
dydx=20(x+1+x2)19(1+x1+x2)\frac{dy}{dx} = 20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{19} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
=20(x+1+x2)19(1+x2+x1+x2)=20(x+1+x2)201+x2=20y1+x2= 20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{19} \left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{20\left(x + \sqrt{1+x^2}\right)^{20}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{20y}{\sqrt{1+x^2}}

বর্গ করে ও আড়গুণন করে পাই,
(1+x2)(dydx)2=400y2(1+x^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 400y^2

উভয়পক্ষকে পুনরায় xx-এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
2x(dydx)2+(1+x2)⋅2(dydx)(d2ydx2)=400⋅2y(dydx)2x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + (1+x^2) \cdot 2\left(\frac{dy}{dx}\right)\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right) = 400 \cdot 2y \left(\frac{dy}{dx}\right)

উভয়পক্ষকে 2(dydx)2\left(\frac{dy}{dx}\right) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(1+x2)d2ydx2+xdydx=400y(1+x^2)\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} = 400y

এখন, x=0x = 0 হলে,
y=(0+1+0)20=1y = (0 + \sqrt{1+0})^{20} = 1

সুতরাং,
(1+0)d2ydx2∣x=0+0=400(1)(1+0)\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=0} + 0 = 400(1)
∴d2ydx2∣x=0=400\therefore \left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=0} = 400

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন