উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $1 + \ln x = z \implies \frac{1}{x} dx = dz$।
   উচ্চসীমা $e^3$ ধরলে: $x=1 \implies z=1$; $x=e^3 \implies z=4$।
   $\int_{1}^{4} \frac{dz}{z} = [\ln z]_{1}^{4} = \ln 4 = 2\ln 2$।
   (উচ্চসীমা $c^3$ থাকলে উত্তর: $\ln(1+3\ln c)$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = \sin x \implies g'(x) = \cos x$
   প্রদত্ত যোগজ: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{(1+\sin x)(2+\sin x)}$
   ধরি, $\sin x = z \implies \cos x \, dx = dz$। সীমা: $x=0 \to z=0$, $x=\frac{\pi}{2} \to z=1$।
   $\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{1+z} - \frac{1}{2+z}\right) dz = \left[ \ln\left(\frac{1+z}{2+z}\right) \right]_0^1 = \ln\frac{2}{3} - \ln\frac{1}{2} = \ln\left(\frac{4}{3}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরাবৃত্ত: $y^2 = 12x = 4 \cdot 3 \cdot x \implies a = 3$
   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x = 3$
   সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল = $2 \int_0^3 y \, dx = 2 \int_0^3 \sqrt{12x} \, dx = 4\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^3 = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 24$ বর্গ একক।