উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তটির কেন্দ্র (4, 3)।
   যেহেতু বৃত্তটি 5x - 12y + 3 = 0 সরলরেখাকে স্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্র থেকে উক্ত রেখার লম্ব দূরত্বই হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r)।
   ∴ r = |5(4) - 12(3) + 3| / √(5^2 + (-12)^2)
   = |20 - 36 + 3| / √(25 + 144)
   = |-13| / √169 = 13 / 13 = 1

   সুতরাং, (4, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং 1 ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ:
   (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1^2
   ⇒ x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 1
   ⇒ x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0 (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:
   x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 ... (i)

   যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং c = g^2 ... (ii)

   বৃত্তটি B(-2, 0) বিন্দুগামী:
   (-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0
   ⇒ 4 - 4g + c = 0
   ⇒ 4 - 4g + g^2 = 0 [ (ii) হতে ]
   ⇒ (g - 2)^2 = 0
   ∴ g = 2
   অতএব, c = g^2 = 2^2 = 4।

   আবার, বৃত্তটি A(0, -2) বিন্দুগামী:
   0^2 + (-2)^2 + 2g(0) + 2f(-2) + c = 0
   ⇒ 4 - 4f + 4 = 0
   ⇒ 4f = 8
   ∴ f = 2

   g, f এবং c এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   x^2 + y^2 + 2(2)x + 2(2)y + 4 = 0
   ⇒ x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0 (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0
   এখানে, 2g = -2 ⇒ g = -1
   2f = -4 ⇒ f = -2
   c = 1
   ∴ কেন্দ্র = (-g, -f) = (1, 2)
   এবং ব্যাসার্ধ, r = √(g^2 + f^2 - c) = √((-1)^2 + (-2)^2 - 1) = √(1 + 4 - 1) = √4 = 2

   B(-2, 0) বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   y - 0 = m(x - (-2))
   ⇒ y = m(x + 2)
   ⇒ mx - y + 2m = 0 ... (i)

   রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে কেন্দ্র (1, 2) থেকে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   ∴ |m(1) - 2 + 2m| / √(m^2 + (-1)^2) = 2
   ⇒ |3m - 2| / √(m^2 + 1) = 2
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   (3m - 2)^2 / (m^2 + 1) = 4
   ⇒ 9m^2 - 12m + 4 = 4(m^2 + 1)
   ⇒ 9m^2 - 12m + 4 = 4m^2 + 4
   ⇒ 5m^2 - 12m = 0
   ⇒ m(5m - 12) = 0
   ∴ m = 0 অথবা m = 12/5

   m-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   যখন m = 0:
   0·x - y + 2(0) = 0 ⇒ y = 0

   যখন m = 12/5:
   (12/5)x - y + 2(12/5) = 0
   ⇒ 12x - 5y + 24 = 0

   সুতরাং, স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ: y = 0 এবং 12x - 5y + 24 = 0 (Ans.)