উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে $\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx$ (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা $1$ থেকে $2$) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   প্রদত্ত সীমা:
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{ax} = \frac{2}{a} \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x}$
   যেহেতু $\lim_{z \to 0} \frac{e^z-1}{z} = 1$,
   $= \frac{2}{a} \cdot 1 = \frac{2}{a}$

   উত্তর: $\frac{2}{a}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে $\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx$ (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা $1$ থেকে $2$) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   দেওয়া আছে, $f(x) = \ln x$
   ধরি, $y = \frac{f(2x)}{x} = \frac{\ln(2x)}{x}$

   অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 - \ln(2x)}{x^2} = \frac{1 - \ln(2x)}{x^2}$

   চরম মানের জন্য $\frac{dy}{dx} = 0$:
   $\frac{1 - \ln(2x)}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln(2x) = 0 \implies \ln(2x) = 1 \implies 2x = e \implies x = \frac{e}{2}$

   আবার,
   $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2 \left(-\frac{1}{x}\right) - (1 - \ln 2x)(2x)}{x^4} = \frac{-3 + 2\ln(2x)}{x^3}$

   $x = \frac{e}{2}$ বিন্দুতে,
   $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-3 + 2\ln e}{(e/2)^3} = -\frac{8}{e^3} < 0$

   অতএব, $x = \frac{e}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান এবং কোনো লঘুমান নেই।
   $\text{গুরুমান} = \frac{\ln\left(2 \cdot \frac{e}{2}\right)}{\frac{e}{2}} = \frac{1}{\frac{e}{2}} = \frac{2}{e}$

   উত্তর: কেবল গুরুমান বিদ্যমান এবং তা হলো $\frac{2}{e}$; কোনো লঘুমান নেই।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে $\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx$ (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা $1$ থেকে $2$) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   বিকৃত প্রতীকমালা থেকে পুনর্গঠিত সমাকলন:
   $I = \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, dx + \int_1^{e^2} g(x) \, dx = \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx + \int_1^{e^2} e^x \, dx$

   ১ম সমাকলন:
   $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^{e^2} = \frac{(\ln e^2)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 2$

   ২য় সমাকলন:
   $\int_1^{e^2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_1^{e^2} = e^{e^2} - e$
   [নোট: দ্বিতীয় সমাকলনের ঊর্ধ্বসীমা মুদ্রণে $e^2$-এর বদলে $2$ হলে তার মান হবে $e^2 - e$]

   অতএব, নির্ণেয় মান:
   $I = 2 + e^{e^2} - e \quad (\text{অথবা } 2 + e^2 - e)$