পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

একটি স্কেলার ক্ষেত্র ϕ=ϕ(x,y,z) \phi = \phi (x, y, z) , একটি ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗=(Vxi^+Vyj^+Vzk^) \vec{V} = (V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k}) এবং একটি ভেক্টর অপারেটর ∇⃗=∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^ \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} .

  1. ক)

    লাপলাসের সমীকরণ কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    বৃষ্টির ফোঁটা চলন্ত গাড়ির সামনের কাচকে ভিজায় কিন্তু পিছনের কাচকে ভিজায় না কেন? ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    ∇⃗⋅(∇⃗×V⃗) \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) এর মান নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপকের ϕ \phi এর গ্রেডিয়েন্ট এর কার্ল শূন্য হবে কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো স্কেলার ফাংশন ϕ\phi-এর ল্যাপলাসিয়ানের মান শূন্য হলে, অর্থাৎ ∇2ϕ=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 সমীকরণটিকে লাপলাসের সমীকরণ (Laplace's equation) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উল্লম্বভাবে পড়ন্ত বৃষ্টির ফোঁটা এবং সামনের দিকে অনুভূমিক গতিশীল গাড়ির ক্ষেত্রে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করতে হয়। গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ v⃗rg=v⃗r−v⃗g\vec{v}_{rg} = \vec{v}_r - \vec{v}_g। ফলে গাড়ির চালক বা যাত্রীর কাছে মনে হয় বৃষ্টি উল্লম্বের সাথে একটি কোণ করে সামনের দিক থেকে তীর্যকভাবে গাড়ির দিকে আসছে। এই তীর্যক অভিমুখের কারণে বৃষ্টির ফোঁটা সরাসরি গাড়ির সামনের উইন্ডশিল্ডে (কাচে) আঘাত করে এবং তা ভিজিয়ে দেয়। অপরদিকে পিছনের কাচটি গাড়ির কাঠামোর আড়ালে ঢেকে থাকায় তীর্যকভাবে আসা বৃষ্টি সরাসরি পেছনের কাচে পৌঁছাতে পারে না, ফলে পিছনের কাচ ভেজে না।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗\vec{V}-এর কার্লের ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য হয়, অর্থাৎ ∇⃗⋅(∇⃗×V⃗)=0\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = 0।

    প্রমাণ:
    ∇⃗×V⃗=∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zVxVyVz∣\vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}
    =i^(∂Vz∂y−∂Vy∂z)−j^(∂Vz∂x−∂Vx∂z)+k^(∂Vy∂x−∂Vx∂y)= \hat{i}\left(\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}\right) - \hat{j}\left(\frac{\partial V_z}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial z}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right)

    এখন, ∇⃗⋅(∇⃗×V⃗)\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}):
    =∂∂x(∂Vz∂y−∂Vy∂z)+∂∂y(∂Vx∂z−∂Vz∂x)+∂∂z(∂Vy∂x−∂Vx∂y)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right)
    =∂2Vz∂x∂y−∂2Vy∂x∂z+∂2Vx∂y∂z−∂2Vz∂y∂x+∂2Vy∂z∂x−∂2Vx∂z∂y= \frac{\partial^2 V_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 V_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 V_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 V_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 V_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 V_x}{\partial z \partial y}

    যেহেতু দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক অন্তরীকরণগুলোর ক্রম বিনিময়যোগ্য (যেমন, ∂2∂x∂y=∂2∂y∂x\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}):
    ∇⃗⋅(∇⃗×V⃗)=0\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) = 0

    অতএব, নির্ণেয় মান 00।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    হ্যাঁ, উদ্দীপকের স্কেলার ক্ষেত্র ϕ\phi-এর গ্রেডিয়েন্টের কার্ল শূন্য হবে।

    গাণিতিক বিশ্লেষণ:
    স্কেলার ক্ষেত্র ϕ(x,y,z)\phi(x, y, z)-এর গ্রেডিয়েন্ট হলো:
    grad ϕ=∇⃗ϕ=∂ϕ∂xi^+∂ϕ∂yj^+∂ϕ∂zk^\text{grad } \phi = \vec{\nabla}\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}

    এখন, ∇⃗ϕ\vec{\nabla}\phi-এর কার্ল নির্ণয় করি:
    ∇⃗×(∇⃗ϕ)=∣i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂z∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂z∣\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\phi) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix}
    =i^[∂∂y(∂ϕ∂z)−∂∂z(∂ϕ∂y)]−j^[∂∂x(∂ϕ∂z)−∂∂z(∂ϕ∂x)]+k^[∂∂x(∂ϕ∂y)−∂∂y(∂ϕ∂x)]= \hat{i}\left[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)\right] - \hat{j}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\right] + \hat{k}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\right]
    =i^(∂2ϕ∂y∂z−∂2ϕ∂z∂y)−j^(∂2ϕ∂x∂z−∂2ϕ∂z∂x)+k^(∂2ϕ∂x∂y−∂2ϕ∂y∂x)= \hat{i}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}\right) - \hat{j}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}\right)

    অবিচ্ছিন্ন আংশিক অন্তরজের ক্ষেত্রে ক্ল্যারোর উপপাদ্য (Clairaut's theorem) অনুসারে মিশ্র আংশিক অন্তরজগুলো পরস্পর সমান:
    ∂2ϕ∂y∂z=∂2ϕ∂z∂y\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}, ∂2ϕ∂x∂z=∂2ϕ∂z∂x\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}, এবং ∂2ϕ∂x∂y=∂2ϕ∂y∂x\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}

    সুতরাং,
    ∇⃗×(∇⃗ϕ)=i^(0)−j^(0)+k^(0)=0⃗\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}\phi) = \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(0) = \vec{0}

    অতএব, স্কেলার ক্ষেত্র ϕ\phi-এর গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সর্বদা একটি শূন্য ভেক্টর বা শূন্য হবে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন