গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S = (0, 0)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: x - y + 1 = 0 ... (1)

আমরা জানি, পরাবৃত্তের অক্ষরেখা শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর লম্ব এবং তা উপকেন্দ্রগামী।
অতএব, অক্ষরেখার সমীকরণ:
x + y + k₁ = 0
যেহেতু এটি (0, 0) বিন্দুগামী, তাই 0 + 0 + k₁ = 0 ⇒ k₁ = 0
সুতরাং অক্ষরেখার সমীকরণ: x + y = 0 ... (2)

(1) ও (2) সমাধান করে শীর্ষবিন্দু A-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায়:
(1) + (2) ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2
(2) হতে, y = -x = 1/2
সুতরাং, শীর্ষবিন্দু A = (-1/2, 1/2)

ধরি, অক্ষরেখা ও দ্বিকক্ষ বা নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু Z = (α, β)।
যেহেতু শীর্ষবিন্দু A হলো উপকেন্দ্র S এবং Z এর মধ্যবিন্দু:
(α + 0)/2 = -1/2 ⇒ α = -1
(β + 0)/2 = 1/2 ⇒ β = 1
অতএব, Z = (-1, 1)

নিয়ামকরেখা শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমান্তরাল, তাই এর সমীকরণ:
x - y + k₂ = 0
যেহেতু এটি Z(-1, 1) বিন্দুগামী:
-1 - 1 + k₂ = 0 ⇒ k₂ = 2
সুতরাং, নিয়ামকরেখার সমীকরণ: x - y + 2 = 0

পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু P(x, y) হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞামতে SP = PM,
√[(x - 0)² + (y - 0)²] = |x - y + 2| / √(1² + (-1)²)
⇒ x² + y² = (x - y + 2)² / 2
⇒ 2(x² + y²) = x² + y² + 4 - 2xy + 4x - 4y
⇒ x² + 2xy + y² - 4x + 4y - 4 = 0
বা, (x + y)² - 4x + 4y - 4 = 0

এটিই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।